![]()
Лента событий:
vcv решил задачу "Квадраты в параболе" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Игрок бросает пять шестигранных костей (т.е. кубиков, грани которых пронумерованы от 1 до 6), а затем подсчитывает сумму трех наибольших выпавших значений. D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,6,3,5 Существует ровно 1111 вариантов для пяти шестигранных костей, когда три наибольших выпавших значения дают в сумме 15. А сколько будет вариантов для 18 двенадцатигранных костей (т.е. додекаэдров, грани которых пронумерованы от 1 до 12), когда 10 наибольших выпавших значений в сумме дают полный квадрат? ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Вы, вероятно, знаете игру в 15 (пятнашки). На этот раз мы будем использовать не нумерованные костяшки, а цветные – семь красных и восемь синих. При этом есть ровно два способа, которыми можно достичь положения (E) за 5 шагов, а именно, двигая костяшки последовательно
Назовем кратностью положения количество способов, которыми можно достичь этого положения за минимальное количество шагов. Мы видели, что кратность положения (E) равна 2. ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
8
Дано множество простых чисел, не превышающих 5000: ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
9
Найдите количество непустых подмножеств множества {1250250, 2250249, 3250248,... , 2502492, 2502501}, у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
6
Лист бумаги представляет собой прямоугольник размером M × N, где M и N – натуральные числа. Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами, а затем будем разрезать этот лист, руководствуясь следующими правилами: Найдите остаток от деления F(25,35) на 108. ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
7
Определим уравновешенную статую как полимино, удовлетворяющее следующим требованиям:
Подсчитаем количество различных уравновешенных статуй порядка n. При этом статуи, симметричные друг другу относительно вертикальной оси, будем считать одинаковыми. На рисунке показаны уравновешенные статуи порядка 6. Объединив симметричные, получим 18 различных уравновешенных статуй. Пусть Z(n) – количество уравновешенных статуй порядка n. Тогда Z(6)=18, Z(10)=964, Z(15)= 360505. Найдите ∑Z(n) для 1 ≤ n ≤ 18. ![]()
Задачу решили:
0
всего попыток:
3
Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения. В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке. Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну). Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды? Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого. ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
10
Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей. Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми. Например, f(2,1)=1, f(2,2)=f(3,1)=2 и f(3,2)=16. Случай f(3,2) показан на рисунке: Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 1015.
![]()
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H? ![]()
Задачу решили:
9
всего попыток:
17
Ним – это игра, в которой двое участников по очереди берут камни, разложенные на несколько кучек. Каждым ходом игрок должен взять из одной кучки один или несколько камней, но хотя бы один – обязательно! Проигрывает тот, кому камней не досталось, и кто поэтому не может сделать ход. Мы рассмотрим наиболее популярную версию игры с тремя кучками камней. Пусть начальная позиция описывается тройкой чисел (n1,n2,n3), где n1,n2 и n3 - количество камней в каждой из трех кучек.
Например, позиция (0,n,n) – проигрышная для любых n, ибо второй игрок всегда может выравнивать количество камней в двух оставшихся кучках, пока в них что-то остается. По этой же причине позиция (1,2,3) – тоже проигрышная, ибо второй игрок своим ходом всегда может создать позицию вида (0,n,n), например: Первый игрок: (1,2,1) Второй игрок: (1,0,1) Первый игрок: (0,0,1) Второй игрок: (0,0,0) – победа. Подсчитайте, сколько существует проигрышных позиций вида (n,2n,3n), где n – натуральное число, не превышающее 1012.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|