В десятизначном числе N за один ход можно удалить произвольное количество цифр так, что оставшиеся цифры последовательно представляют запись простого числа (пробелы между цифрами автоматически удаляются). Найти такое минимальное N, из которого такими ходами можно получить наибольшее количество различных простых чисел.

Определим для натурального числа n функцию S(n) равной сумме цифр в его десятичной записи. Найдите наименьшее M, такое, что среди простых чисел меньших 1000000, количество чисел для которых S(n)=M максимально.

Володя написал программу, которая складывает в столбик два числа. К сожалению, он не разобрался, как правильно переносить единицу из одного разряда в следующий. Поэтому программа стала выполняться следующим образом. Сначала она складывает последние цифры обоих чисел и записывает результат, как в случае, если он однозначный, так и в случае, если он двузначный. Затем программа складывает предпоследние цифры обоих чисел и результат сложения приписывает слева к результату предыдущего сложения. Далее процесс повторяется для всех разрядов. Если в одном числе цифр меньше, чем в другом, то программа размещает нули в соответствующих разрядах более короткого числа.
Федя хочет доказать Володе, что его способ сложения не обладает свойством ассоциативности. В частности, Федя утверждает, что существуют три числа, для которых важен порядок, в котором их складывают (при этом разрешается складывать числа в любом порядке, например можно сначала сложить первое число и последнее, а затем прибавить к ним среднее). Федя привел даже пример трех таких чисел.
Сколько существует троек чисел a, b, c, таких, что a < b < c < 1000000 и a+(b+c) < (a+b)+c.

Блоха запрыгнула на круглый стол для игры в "Что? Где? Когда?" незадолго до начала очередной игры. На секторах стола уже были разложены конверты с вопросами. Блоха решила заранее прочитать все вопросы, чтобы у нее было больше времени подумать над ответами.

Круглый игровой стол поделен на 10⁹ секторов, занумерованных по часовой стрелке числами от 1 до 10⁹. Блоха запрыгнула на первый сектор. С него она может либо перебежать на соседний, либо перепрыгнуть через 2 сектора (например, если стол делится на 12 секторов, то с сектора номер 1 блоха может за одно действие попасть на сектора с номерами 2, 4, 10 и 12). Блоха хочет побывать на каждом секторе ровно 1 раз и вернуться обратно на первый сектор, откуда она спрыгнет и убежит думать над вопросами. Определите, сколькими способами она сможет совершить свое путешествие. Выведите в качестве ответа количество способов по модулю 10⁹+9.

Рассмотрим строку, состоящую из последовательных первых 10⁹ знаков числа π после запятой. Найти минимальное число не входящее в качестве подстроки в эту строку.

Найти наименьшее натуральное число x такое, что существует целое y>x и (x+i)/(y+j) являются сократимыми дробями для всех i,j = 0,1,2,...,9.

13-е число месяца может быть любым днем недели с понедельника по воскресенье, казалось бы с одинаковой вероятностью, примерно равной 1/7=0,142857... (в случае равномерного распределения). Найдите реальную долю попадания 13-го числа на пятницу с 2000-го года по 3000-й год включительно (по григорианскому календарю).

Найти количество натуральных чисел меньших 1 миллиарда, которые делятся нацело на все входящие в его запись цифры.

Для передачи сообщений используется алфавит из 32 прописных русских букв (не используется «Ъ»). Все передаваемые слова содержат ровно по 8 букв. Каждое передаваемое слово начинается с одной из четырех букв (К, Л, М, Н). Остальные буквы в каждом слове могут быть любыми из используемого алфавита. Какое количество информации (в битах) несет произвольная фраза из 10 слов, если для ее кодирования использовалось минимальное количество бит в рамках описанных выше правил.

В октябре 2010 года пять пятниц, пять суббот и пять воскресений. А сколько таких месяцев с 2001-го по 2100-й годы?