Для заданного множества точек на плоскости М определим выпуклую дыру H как многоугольник, все вершины которого принадлежат множеству М, и ни одна точка из М не содержится во внутренней области H (на сторонах многоугольника точки лежать могут).
В качестве примера на рисунке ниже показано множество М из 20 точек и несколько из заданных им выпуклых дыр.

Красным цветом показана выпуклая дыра наибольшей площади: ее площадь составляет 1049694,5 единиц, и для данного множества М нет выпуклых дыр с большей площадью.

Для нашего примера мы использовали первые 20 точек, полученные с помощью генератора случайных чисел следующим образом. Точка с номером k имеет координаты (T_2k-1, T_2k), а псевдослучайные числа T_k получены при помощи рекуррентной формулы:

S_n+1 = S_n² mod 50515093,
где S₀ = 290797
и
T_n =(S_n mod 2000) - 1000.

Тогда координаты первых трех точек будут:
(527,144), (-488,732), (-454,-947).
Постройте с помощью указанного генератора псевдослучайных чисел множество М из первых 500 точек  и найдите для него выпуклую дыру наибольшей площади. Ответом задачи является периметр указанной дыры, округленный до целого.

Округлим квадратный корень из натурального числа n до ближайшего целого и будем называть полученный результат округленным квадратным корнем.
Теперь рассмотрим следующий алгоритм вычисления округленного квадратного корня, фактически являющийся модификацией формулы Герона для целочисленной арифметики:
Пусть d — количество знаков числа n,
x₀ = 2?10^(d-1)⁄2 для нечетных d, и
x₀ = 7?10^(d-2)⁄2 для четных d.
Будем вычислять последовательность x_k
x_k+1=[(x_k+{n/x_k})/2]
до тех пор, пока последовательные значения не совпадут: x_k+1 = x_k. Скобки [] - означают округление вниз, а {} - округление вверх.
Для примера вычислим округленный квадратный корень из 4321. Это четырехзначное число, поэтому x₀ = 7 ? 10^(4-2)⁄2 = 70.
x₁=[(70+{4321/70})/2]=66
x₂=[(66+{4321/66})/2]=66
Поскольку  x₂ = x₁,  двух итераций  оказалось достаточно, и мы нашли округленный квадратный корень, равный 66 (это правильный результат, поскольку квадратный корень из 4321 примерно равен 65,7343137…)
Описанный метод оказался удивительно эффективным. Например, для вычисления округленных квадратных корней из пятизначных чисел требуется не более 5 итераций. Существует всего 82 пятизначных числа (например, число 10097), для которых алгоритм требует пяти шагов.
Найдите максимальное число итераций, которое может потребоваться для вычисления округленного квадратного корня из 14-значного числа. В качестве ответа укажите количество 14-значных чисел, для вычисления округленного квадратного корня из которых требуется найденное максимальное число шагов. 

Дан треугольник ABC, длины сторон которого выражаются различными целыми числами: |CB|<|AC|<|AB|.
Биссектрисы треугольника пересекают его стороны в точках E, F и G, как показано на рисунке:

Отрезки EF, EG и FG разбивают треугольник ABC на четыре треугольника меньшего размера: AEG, BFE, CGF и EFG.
Можно показать, что отношения площадей этих треугольников всегда выражаются рациональными числами, но иногда это отношение оказывается целым.
Найдите, сколько существует различных треугольников ABC, для которых отношение площадей треугольника ABC и треугольника AEG выражается целым числом, а |CB|<|AC|<|AB|≤50 000 000.

Представьте, что у вас появилась возможность вложить свой трудовой рубль и стать рублевым миллиардером.
Правила такие:
У вас есть один трудовой рубль. Каждый день вы инвестируете некоторую долю своего капитала  f , которую вы должны зафиксировать  раз и навсегда. Известно, что на следующий день ваши инвестиции удваиваются с вероятностью 1/2, но с такою же вероятностью вы их теряете.
Например, если вы выбрали f=1/4, то в первый день вы инвестируете 0,25 руб. Допустим, вам сопутствовала удача. Тогда к вечеру у вас будет 1,5 руб., и назавтра вы инвестируете 0,375 руб. Если фортуна на этот раз от вас отвернется, через два дня у вас останется 1,125 руб., а если повезет — 1,875 руб. Таким образом, при f=1/4 через два дня ваш капитал превысит 1,5 руб. с вероятностью 25%.
Вы решили стать миллиардером с вероятностью не менее 99% за минимальное количество дней. Сколько именно дней вам нужно запланировать на это, если вы выберете оптимальное значение f?

Рассмотрим треугольник, длины сторон которого – целые числа a, b и с, удовлетворяющие неравенству a ≤ b ≤ c.
Будем называть такой треугольник примитивным, если наибольший общий делитель длин его сторон равен 1, т.е. gcd(a, gcd(b,c))=1.

Подсчитайте, сколько существует различных примитивных треугольников, периметр которых – семизначное число.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Функция Аккермана  рекурсивно задается для неотрицательных целых чисел  и  следующим образом:

Например, ,  и .

Чему равен остаток от деления  на 14⁸, где ?

Рассмотрим треугольник со сторонами 6,8 и 10. Легко подсчитать, что и его периметр, и его площадь равны 24, а отношение площади к периметру равно 1.

У треугольника со сторонами 13,14 и 15 периметр равен 42, а площадь — 84 единицам. Отношение площади этого треугольника к его периметру равно 2.

Подсчитайте, сколько существует различных треугольников с целыми сторонами, для которых отношение площади к периметру равно целому числу, не превышающему 1000.

Рассмотрим две окружности, у которых и центры, и точки пересечения имеют целочисленные координаты. Выпуклую область, ограниченную такой парой окружностей будем называть линзой, если она не имеет внутренних точек с целочисленными координатами. Радиусы окружностей, ограничивающих линзу, назовем радиусами линзы. На рисунке ниже показаны следующие окружности:

C₀: x²+y²=25
C₁: (x+4)²+(y-4)²=1
C₂: (x-12)²+(y-4)²=65

Линзы, заключенные между окружностями C₀ и C₁ и между C₀ и C₂, закрашены красным.

Обозначим через L(N) количество различных пар чисел (r1,r2), для которых существует линза с радиусами r1 и r2, и 0<r1≤ r2≤ N.

Можно проверить, что L(10) = 30 и L(100) = 3442.

Найдите Σ L(10^k), где 1 ≤ k ≤ 5.