Группу из 30 студентов нужно разбить на две команды, так чтобы в первой команде было больше студентов, чем во второй, но не более чем в полтора раза. При этом в каждой группе должны оказаться знакомые друг с другом студенты. Знакомство задается матрицей с элементами A_ij (1≤i,j≤30), в которой A_ij=A_ji=1,  если студенты с номерами i и j знакомы, и Aij=Aji=0 - если не знакомы. Также известно, что если i+j и i*j одновременно делятся на 3, то Aij=1, остальные элементы равны нулю. Сколько возможно разбиений на команды?

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.
Найдите количество особых множеств А, содержащих 7 элементов, для которых S(A) ≤ 333.

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением:

F_n = F_n-1 + F_n-2, где F₁ = 1 и F₂ = 1.

317-ый член последовательности Фибоначчи равен

793591407804151926593793042126891128819610710140145037958273777397.

Три его первые цифры совпадают с тремя последними, но идут в обратном порядке. Это наименьший член последовательности, обладающий данным свойством.

Пусть F_k - наименьший член последовательности, у которого пять первых цифр совпадают с пятью последними, но идут в обратном порядке.

Найдите k.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.

Найдите количество непустых особых множеств А, все элементы которых не превышают 50.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.

Предположим, что n элементов множества расположены в строго возрастающем порядке, и нам нужно проверить, является ли оно особым. Оказывается, что при n=4 из 25 пар подмножеств достаточно всего двух сравнений, а при n=7 достаточно 73 из 966 возможных сравнений.
Сколько нужно выполнить сравнений (из 86526 возможных), чтобы выяснить, является ли особым упорядоченное по возрастанию множество, состоящее из 11 натуральных чисел?

В умножении "столбиком" цифры зашифрованы "звездочками". Вместо любой "звездочки" может быть любая цифра.

      * * *
   x    * *
    -------
    * * * *
  * * * *
  ---------
  * * * * *

Сколько всего существует вариантов подстановок цифр вместо "звездочек" для данного примера?

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний, затем снова относительно ввертикали, но чтобы левый край наложился на правый и, наконец, относительно горизонтали, чтобы верхний край наложился на нижний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки пронумерованы числами по спирали: самый нижний ряд - слева направо, затем последний столбец снизу вверх, затем верхний ряд справа налево и, наконец, первый столбец сверху вниз до второй строки и так далее. Клетку с каким номером нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?

Найдите количество значений n (1≤n≤1000), для которых последняя ненулевая справа цифра n! наиболее часто встречается.