![]()
Лента событий:
vcv решил задачу "Четыре множества" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
5
всего попыток:
10
Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей. Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми. Например, f(2,1)=1, f(2,2)=f(3,1)=2 и f(3,2)=16. Случай f(3,2) показан на рисунке: Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 1015.
![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n? ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109. ![]()
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H? ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
5
Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p2. Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа. Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 25•33 и 1800 = 23•32•52 — ахиллесовы. Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы. Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 25•32, а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 25•31•51. Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396. Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6. ![]()
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43. Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.
![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.
Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r. Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами. Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r). Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr2)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник. Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748. Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого. ![]()
Задачу решили:
2
всего попыток:
9
Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2i×3j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными. Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (21×30 + 21×31 + 20×32) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (24×30 + 20×30) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (23×30 + 20×32). Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения: 11 = 2 + 9 = (21×30 + 20×32) 11 = 8 + 3 = (23×30 + 20×31) Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2. Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641. Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
5
Последовательность Голомба {G(n)} определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n) вхождений каждого натурального числа n.
Можно подсчитать, что G(210) = 87, G(220) = 6320, и что ΣG(2n) = 857297 при 1 ≤ n < 30. Найдите ΣG(2n)для 1 ≤ n < 60.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|