Попробуем построить признак делимости для делителя p > 1, взаимно простого с 10. Мы хотим найти для каждого натурального n другое число n₁, которое делится на p тогда и только тогда, когда n делится на p. Два целых числа называются равноделимыми на p, если либо они оба делятся на p, либо оба не делятся. Если b – последняя цифра числа n, и n=10a+b, мы будем искать n₁ в виде:
n₁ = a + b ? m.
Остается найти подходящее значение  m < p, которое будем  называть фактором делимости. Тогда для достаточно больших n мы сможем построить убывающую последовательность равноделимых чисел.
Например, для p=113 фактор делимости равен 34.
При n=76275 получим n₁ = 7627 + 5 * 34 = 7797, и оба числа 76275 и 7797 делятся на 113.
При n=12345 получим n₁ = 1234 + 5 * 34 = 1404, и оба числа 12345 и 1404 не делятся на 113.
Сумма факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 1000, равна 19961.
Найдите сумму факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 2*10⁷.

Определим уравновешенную статую как полимино, удовлетворяющее следующим требованиям:

• Статуя порядка n состоит из n единичных квадратов — блоков и еще одного квадрата — постамента (всего — n+1 квадрат).
• Центр постамента находится в начале координат (x = 0, y = 0).
• Центры всех блоков имеют положительные координаты y, так что постамент находится ниже остальных квадратов.
• Центр масс уравновешенной статуи имеет нулевую горизонтальную координату x.

Подсчитаем количество различных уравновешенных статуй порядка n. При этом статуи, симметричные друг другу относительно вертикальной оси, будем считать одинаковыми. На рисунке показаны уравновешенные статуи порядка 6. Объединив симметричные, получим 18 различных уравновешенных статуй.

Пусть Z(n) – количество уравновешенных статуй порядка n. Тогда  Z(6)=18, Z(10)=964, Z(15)= 360505.

Найдите ∑Z(n)  для 1 ≤ n ≤ 18.

Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a₁, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:

• a_n+1 = a_n/3, когда a_n делится на 3. Обозначим такой переход от  a_n к a_n+1 символом "D".
• a_n+1 = (4a_n + 2)/3, если a_n дает остаток 1 при делении на 3. Обозначим этот случай символом "U".
• a_n+1 = (2a_n - 1)/3 , если a_n дает остаток 2 при делении на 3.

Обозначим этот случай символом "d".
Последовательность заканчивается первой встретившейся единицей.
Например, при a₁ =231 получим последовательность чисел {231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} и соответствующую строку символов - "DdDddUUdDD".
Для a₁ =1004064 получим строку символов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD, которая начинается с DdDddUUdDD.

Найдите все a₁<10¹⁵, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
В качестве ответа укажите их сумму.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Функция Аккермана  рекурсивно задается для неотрицательных целых чисел  и  следующим образом:

Например, ,  и .

Чему равен остаток от деления  на 14⁸, где ?

Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)² + (k·b + 1)² и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего.
По окончании игры Альберт получает 1000 руб. за каждое очко.
Можно подсчитать, что после 10 туров с k=1, k=2,: k=10 математическое ожидание выигрыша составит примерно 12059 руб. 48 коп.
Каково будет математическое ожидание выигрыша после 10⁵ туров с k=1, k=2, k=3, ..., k=10⁵? Дайте ответ в копейках, округлив его до ближайшего целого.

Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n?

Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6.

Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10ⁿ, таких что 

• k делится на 69;
• d(k) = 69. 

Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036.

Найдите остаток от деления S(20¹²) на 10⁹.

В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?