Для некоторых натуральных чисел k можно подобрать такое вещественное число t, чтобы выполнялось равенство
4^t = 2^t + k,
а числа 4^t и 2^t были целыми.
Наименьшее такое k равно двум:
4¹ = 2¹ + 2,
а следующее равно шести:
4^1,5849625... = 2^1,5849625... + 6.

Как мы видим, для некоторых k, например для k=2, t оказывается целым, а для других – нет.
Обозначим через P(m) долю таких k ≤ m, для которых  t – целое. Например, P(6) = 1/2. Ниже приведено несколько значений P(m):

   P(5) = 1/1
   P(10) = 1/2
   P(15) = 2/3
   P(20) = 1/2
   P(25) = 1/2
   P(30) = 2/5
   ...
   P(180) = 1/4
   P(185) = 3/13

Найдите сумму всех m, для которых P(m)=1/7777.

На клетчатой доске 30 х 30 сидит 900 блох, по одной блохе в каждой клетке.
Когда звенит колокольчик, блохи одновременно прыгают.
Блоха, сидящая в углу доски, приземляется на одну из двух соседних клеток с равной вероятностью 1/3 и с такою же вероятностью 1/3 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая у края доски, приземляется на одну из трех соседних клеток с равной вероятностью 1/4 и с такою же вероятностью 1/4 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая во внутренней части доски, приземляется на одну из четырех соседних клеток с равной вероятностью 1/5 и с такою же вероятностью 1/5 возвращается на прежнее место.
Найдите математическое ожидание количества незанятых блохами клеток после пятидесяти звонков. Результат умножьте на миллион и округлите до ближайшего целого. 

Функция бланманже определена на промежутке [0, 1] следующим образом:
,
Где s(x) – расстояние между x и ближайшим к нему целым числом.
График функции бланманже представлен на рисунке. Область под кривой, закрашена розовым. Ее площадь равна ½.

Построим теперь круг C с центром в точке (3/8, 1/2) и радиусом 3/8.
Найдите площадь той части круга C, которая лежит под графиком  функции бланманже.
Результат умножьте на 10⁷ и округлите до целого.

Для целого n≥4 определим нижний простой квадратный корень из n как наибольшее простое число, не превышающее √n. Обозначим это число через lps(n).
Аналогично, обозначим через ups(n) верхний простой квадратный корень из n, т.е. наименьшее простое число, большее или раное √n.
Например, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37.
Назовем число n≥4 полуделимым, если оно делится на lps(n) или на  ups(n), но не кратно обоим этим числам одновременно. Первые три полуделимых числа – это 8, 10 и 12. Число 15 не является полуделимым, поскольку  оно кратно и lps(15)=3, и ups(15)=5. Сумма первых трех полуделимых чисел равна 30. Сумма первых 92 полуделимых чисел равна 34825.
Найдите сумму первых 3711717 полуделимых чисел.

Решите уравнение относительно r:

Результат округлите до целого.

Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными. Для каждого знаменателя d существует d-1 правильная дробь. Например, для d=15 это

1/15 , 2/15 , 3/15 , 4/15 , 5/15 , 6/15 , 7/15 , 8/15 , 9/15 , 10/15, 11/15, 12/15, 13/15, 14/15.

Из 14 правильных дробей со знаменателем 15 лишь 8 оказываются несократимыми. Назовем коэффициентом несократимости R(d) знаменателя d отношение количества несократимых правильных дробей со знаменателем d к общему количеству правильных дробей со знаменателем d. Например, R(15)= 8/14 =4/7. Заметим, что d=15 – это наименьший нечетный знаменатель, для которого R(d)<2/3.

Найдите наименьший нечетный знаменатель d, для которого R(d)< 19945/60961.

Назовем коэффициентом несократимости знаменателя d отношение количества несократимых правильных дробей со знаменателем d к общему количеству правильных дробей со знаменателем d, например R(12) = 4⁄11.
Можно показать, что коэффициент несократимости

R(d)= φ(d)/(d – 1), где φ – функция Эйлера.

Теперь определим коэффициент сократимости C(d):

C(d)= (d-φ(d))/(d – 1 )
Например, для простых чисел p

C(p)=1/(p-1)

Существует ровно 2 составных d<100, для которых C(d) является дробью с числителем, равным 1: это 15 и 85.
Найдите количество составных d, не превышающих 2×10¹¹, для которых C(d) – дробь с числителем, равным единице.

Тройку натуральных чисел (a,b,c) будем называть тройкой Кардано, если она удовлетворяет условию:

Например, тройка (2,1,5) является тройкой Кардано.
Найдите, сколько существует троек Кардано при a, b и  c меньших, чем 30 000 000.

Мальчику подарили развивающую игру-пазл "числовая змейка", состоящую из 40 фигурных элементов, которые можно собирать цепочкой один за другим и только в определенной последовательности. Элементы перенумерованы в соответствии с этой последовательностью числами от 1 до 40.

Каждый вечер папе приходится собирать элементы, разбросанные по полу в детской. Он подбирает их по одному случайным образом и сразу ставит на нужное место. При этом они образуют несколько готовых отрезков из нескольких идущих подряд элементов, должным образом соединенных между собой. Понятно, что сначала, до того как папа начинает выкладывать змейку, таких отрезков нет, когда он кладет первый элемент, получается один отрезок, состоящий из единственного элемента, а в конце работы остается  также один отрезок, состоящий из всех 40 элементов. По ходу дела количество готовых отрезков может увеличиваться и уменьшаться, достигая в какой-то момент максимума. Вот пример его работы:

Обозначим через M максимальное количество готовых отрезков, которое достигалось в процессе сборки. В таблице ниже приведено количество вариантов сборки, при которых наблюдаются максимальные числа отрезков M для змейки, состоящей из 10 элементов.

Как видно, наиболее вероятное значение M равно 3, и оно реализуется 1815264 различными способами, а 181526 — это первые шесть значащих цифр данного числа.
Найдите наиболее вероятное значение M для змейки из 40 элементов и количество способов сборки, при которых достигается это число. В качестве ответа укажите первые шесть значащих цифр результата.

Округлим квадратный корень из натурального числа n до ближайшего целого и будем называть полученный результат округленным квадратным корнем.
Теперь рассмотрим следующий алгоритм вычисления округленного квадратного корня, фактически являющийся модификацией формулы Герона для целочисленной арифметики:
Пусть d — количество знаков числа n,
x₀ = 2?10^(d-1)⁄2 для нечетных d, и
x₀ = 7?10^(d-2)⁄2 для четных d.
Будем вычислять последовательность x_k
x_k+1=[(x_k+{n/x_k})/2]
до тех пор, пока последовательные значения не совпадут: x_k+1 = x_k. Скобки [] - означают округление вниз, а {} - округление вверх.
Для примера вычислим округленный квадратный корень из 4321. Это четырехзначное число, поэтому x₀ = 7 ? 10^(4-2)⁄2 = 70.
x₁=[(70+{4321/70})/2]=66
x₂=[(66+{4321/66})/2]=66
Поскольку  x₂ = x₁,  двух итераций  оказалось достаточно, и мы нашли округленный квадратный корень, равный 66 (это правильный результат, поскольку квадратный корень из 4321 примерно равен 65,7343137…)
Описанный метод оказался удивительно эффективным. Например, для вычисления округленных квадратных корней из пятизначных чисел требуется не более 5 итераций. Существует всего 82 пятизначных числа (например, число 10097), для которых алгоритм требует пяти шагов.
Найдите максимальное число итераций, которое может потребоваться для вычисления округленного квадратного корня из 14-значного числа. В качестве ответа укажите количество 14-значных чисел, для вычисления округленного квадратного корня из которых требуется найденное максимальное число шагов.