Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что никакие 2 ферзя не бьют друг друга?

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

Будем называть треугольник шестидесятиградусным, если он имеет хотя бы один угол, равный 60 градусам, а длины его сторон выражаются целыми числами.
Обозначим через r радиус вписанной в такой треугольник окружности.
Существует 1580 различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ 100.
Обозначим через T(n) количество различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ n.
Тогда T(100) = 1580, T(1000) = 26231 и T(10000) = 394553.
Найдите T(2000000).

Треугольники с целыми длинами строн называются почти прямоугольными, если a²+b²=c²±1 (a≤b≤c). Сколько существут различных почти прямоугольных треугольников с периметром меньшем 10¹⁵.  

Оля и Дима играют в кости.
У Оли шесть костей в форме октаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 8.
У Димы четыре кости в форме додекаэдра, и грани каждой из них занумерованы числами от 1 до 12.
В каждом туре игроки бросают все свои кости по одному разу. Побеждает тот, у кого сумма выпавших очков больше. При равенстве фиксируется ничья.
Каково математическое ожидание количества побед Оли после миллиона туров?
Результат округлите вниз до целого.

На клетчатой доске 30 х 30 сидит 900 блох, по одной блохе в каждой клетке.
Когда звенит колокольчик, блохи одновременно прыгают.
Блоха, сидящая в углу доски, приземляется на одну из двух соседних клеток с равной вероятностью 1/3 и с такою же вероятностью 1/3 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая у края доски, приземляется на одну из трех соседних клеток с равной вероятностью 1/4 и с такою же вероятностью 1/4 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая во внутренней части доски, приземляется на одну из четырех соседних клеток с равной вероятностью 1/5 и с такою же вероятностью 1/5 возвращается на прежнее место.
Найдите математическое ожидание количества незанятых блохами клеток после пятидесяти звонков. Результат умножьте на миллион и округлите до ближайшего целого. 

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.