Лента событий:
kazak1952 решил задачу "Два шестиугольника" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
3
всего попыток:
3
Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c). Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными. Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция. Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Обозначим через U(n,m) количество биномиальных коэффициентов Ckm, которые не делятся ни на 2, ни на 5, где натуральные числа m,n и k удовлетворяют неравенству m≤k<n. Например, U( 1234567890, 107-10) = 24. Найдите U(1234567890987654321, 1012-10).
Задачу решили:
4
всего попыток:
6
Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью. Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N". Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P". Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.
Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r. Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами. Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r). Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr2)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник. Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748. Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами. В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно. В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.
Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида: b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145 bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013, где x mod y означает остаток от деления x на у. Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов. Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Конечные последовательности натуральных чисел {a1, a2,..., an} длины n обладают следующими свойствами:
где φ(x) – функция Эйлера.
Пусть S(N) — количество таких последовательностей с an ≤ N.
Например, при N=10 существует 5 таких последовательностей: {6}, {6, 8}, {6, 8, 9}, {6, 8, 10} и {6, 10}. Поэтому S(10) = 5.
Можно проверить, что S(80) = 1195518449 и S(10 000) mod 108 = 60687582, где x mod y означает остаток от деления x на y.
Найдите S(20 000 000) mod 108.
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел ai = xi/yi следующим образом: 1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6 Поэтому f(20) = 6. Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k3) = 18764 для простых k, не превышающих 100. Найдите Σf(k3) для простых k, не превышающих 5×106.
Задачу решили:
6
всего попыток:
10
По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:
Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|