Будем называть k-разложимым натуральное число N, которое можно представить в виде суммы и произведения одного и того же набора из k чисел {a₁, a₂, ... , a_k} :

N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k.

Например, число 6 является 3-разложимым:

6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Для каждого k найдем наименьшее k-разложимое число, и выпишем такие числа для k = 2, 3, 4, 5 и 6:

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Мы видим, что для 2≤k≤6 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 12.
Для 2≤k≤30 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 48.

Найти наибольшее из наименьших k-разложимых чисел для 2≤k≤12000.

Легко показать, что не существует равносторонних треугольников, у которых и длина сторон, и площадь выражались бы целыми числами. Однако площадь "почти равностороннего" треугольника со сторонами 5-5-6 равна целому числу 12.

Мы будем называть "почти равносторонними" такие треугольники, у которых длины любых двух сторон не отличаются больше, чем на единицу.

Найдите суммарную площадь всех почти равносторонних треугольников, для каждого из которых площадь выражается целым числом, а длины сторон - целые числа, не превышающие одного миллиарда (1 000 000 000).

Клетки шахматной доски размером 8x8 обозначены стандартным способом по горизонтали буквами "a-h" и по вертикали цифрами "1-8". У вас имеются по 8 комплектов каждой буквы и каждой цифры и вы размещаете на каждой клетке одну букву и одну цифру, таким образом, чтобы полученный номер не совпадал со стандартным (должна отличаться или буква или цифра). Найдите количество таких размещений и введите в ответ сумму цифр полученного числа. 

Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Например, для числа 28 собственные делители - это  1, 2, 4, 7 и 14. Их сумма равна исходному числу 28, и за это его называют совершенным.

Сумма собственных делителей числа 220 равна 284, а сумма собственных делителей 284 равна 220. Подобные пары чисел называют дружественными. Они образуют контур из двух элементов.

Есть контуры и подлиннее. Например, начав с числа 12496, мы можем построить контур из пяти элементов:

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

Построенную таким образом последовательность, начинающуюся и заканчивающуюся одним и тем же числом, мы будем называть дружественным контуром.

Найдите сумму элементов самого длинного дружественного контура, состоящего из чисел, не превышающих 1 000 000.

Строка состоит из 33 символов A и B. При этом в каждой подстроке, длина которой больше 9, количество символов A как минимум на 3 больше количества символов B. Сколько таких строк существует?

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, а затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки изначально были пронумерованы числами снизу "змейкой": самый нижний ряд - слева направо, второй ряд - справа налево продолжает нумерацию и так далее до самого верха. Какую клетку нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?

Чему равна сумма цифр находящихся на местах с простыми номерами в десятичной записи числа 2¹⁰⁰⁰⁰?

Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В строке записаны символы A и B в произвольном порядке, длина строки - 100 символов. За один шаг можно переставить любую группу из последовательных символов A или B. За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку так, чтобы сначала были буквы A, а потом B?