Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Рассмотрим граф, составленный из блоков A и B, показанных на рисунке:

Блоки соединяются вдоль вертикальных ребер в различном порядке, например, вот так:

Вершины графа будем раскрашивать, используя не более c цветов таким образом, чтобы связанные ребром вершины были окрашены в разные цвета.

Теперь подсчитаем, сколько разноцветных графов можно составить, используя a блоков A, b блоков B и не более c цветов.
Используя один блок A и три цвета, можно получить 24 различных графа. (a=1, b=0, c=3)
Используя два блока B и четыре цвета, можно получить 92928 различных графа. (a=0, b=2, c=4)
Используя два блока A, два блока B и три цвета, можно получить 20736 различных графа. (a=2, b=2, c=3)
А сколько различных графов можно получить, используя не более c=2011 цветов и 100 блоков A или B (a+b=100), так, чтобы a и b были четными числами?
В качестве ответа укажите 8 последних цифр результата.

Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.

На рисунке изображен большой круг. Его радиус равен 10000.

Внутри большого круга изображены три светло-коричневых круга поменьше. Эти три круга и большой круг попарно касаются друг друга.

Между соприкасающимися кругами образовались четыре промежутка, в которые тоже можно вписать круги. При этом появляются новые промежутки, в которые можно вписывать круги вновь и вновь сколь угодно долго.
Найдите суммарную площадь всех построенных таким образом кругов (кроме одного исходного круга самого большого размера), радиус которых больше 1. Результат округлите до целого.

Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

В данной задаче мы будем рассматривать "ориентированные" тетраэдры, координаты вершин которых имеют вид:
{(x, y, z), (x+a, y, z), (x,y+a,z), (x,y,z+a)}, a>0, и x,y,z,a – целые числа. Объем такого тетраэдра равен a³/6.
Если мы захотим найти общий объем объединения нескольких ориентированных тетраэдров, то, возможно, он окажется меньше суммы их объемов, если некоторые из тетраэдров пересекаются.
Построим последовательность ориентированных тетраэдров T₁, T₂, …, T_n,… следующим образом:
x_n = S_4n-3 (mod 10000)
y_n = S_4n-2 (mod 10000)
z_n = S_4n-1 (mod 10000)
a_n = 1+S_4n (mod 699),
а S_k  получены при помощи генератора случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
При 1≤k≤55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (mod 1000000), и при 56≤k, S_k = [S_k-24  + S_k-55 ] (mod 1000000).
(p (mod q) означает остаток от деления p на q.)
Таким образом, у тетраэдра T₁ x =7, y=53, z=183, a=655, у тетраэдра T₂ x =863, y=1497, z=2383, a=112 и т.д.
Объем объединения первых 300 ориентированных тетраэдров T₁ … T₃₀₀ равен 3999927695 (по счастливому совпадению это число оказалось целым).
Найдите объем объединения первых 50000 ориентированных тетраэдров T₁ … T₅₀₀₀₀ (благодаря еще одному счастливому совпадению это число тоже целое).

Напомним, что функцией Эйлера φ(n) для натуральных n называют количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n.
Взяв некоторое число n,  будем строить цепочку n, φ(n), φ(φ(n)), φ(φ(φ(n)))…, пока не получим 1. Например, начав с 5, получим последовательность 5,4,2,1, содержащую 4 члена. Ниже приведены все последовательности, содержащие 4 члена.

5,4,2,1
7,6,2,1
8,4,2,1
9,6,2,1
10,4,2,1
12,4,2,1
14,6,2,1
18,6,2,1

Ровно две из них начинаются с простых чисел.
Найдите сумму всех простых чисел, не превышающих 40000000, с которых начинается последовательность длиной 25 и более членов.

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?