Горизонтальная полоска состоит из 2n + 1 клеток. Средняя клетка оставлена пустой, слева от нее в n клетках стоят красные фишки, а справа – синие. На рисунке показано расположение фишек для случая n = 3.

Фишки могут совершать ходы двух видов: шаги, когда фишка перемещается на соседнюю незанятую клетку, и скачки, когда одна фишка перепрыгивает через другую в следующую непосредственно за нею пустую клетку.

Обозначим через M(n) минимальное количество ходов, необходимое для того, чтобы поменять местами синие и красные фишки, так, чтобы красные фишки оказались справа от центра, а синие – слева.

Легко проверить, что M(3) = 15, а 15 является треугольным числом.

Построим последовательность таких n, для которых M(n) является треугольным числом.

В этой последовательности ровно пять чисел, не превышающих 100, а именно 1, 3, 10, 22 и 63. Их сумма равна 99.

Найдите сумму всех n, не превышающих 10¹⁷, для которых M(n) является треугольным числом.

Рассмотрим последовательность y₀, y₁, y₂,..., где y_i - 32-битные случайные целые числа, т.е. 0≤y_i<2³², и все значения y равновероятны.

Последовательность x_i задается рекурсивно следующим образом:

• x₀ = 0 и
• x_i = x_i-1 | y_i-1, при i >0. (Символ  | обозначает побитовое ИЛИ)

Ясно, что в конце концов появится такой индекс N для которого xi окажется равным 2³²-1 при всех i≥N.

Найдите математическое ожидание величины N².

Результат умножьте на миллион и округлите вниз до целого.

Обозначим через f(n) количество способов, которыми можно построить башню 3×3×n из блоков 2×1×1.

Блоки можно вращать произвольным образом. При этом башни, отличающиеся поворотом или симметрией, считаются различными.

Например, 

f(2) = 229,

f(4) = 117805,

f(6) = 64647289,

f(63) mod 123456789 = 75292539,

f(66) mod 123456789 = 56150940.

Здесь a mod q означает остаток от деления a на q.

Найдите f(6¹²³⁴⁵) mod 123456789.

Рассмотрим пару последовательностей a_n и s n , заданных следующим образом:

a₁ = 1, s₁ = 1, a_n = s_n-1 mod n, s_n = s_n-1+ a_n×n.

(Здесь и далее "x mod y" означает остаток от деления x на y.)

Первые 10 элементов последовательности an:

1,1,0,3,0,3,5,4,1,9.

Первые 10 элементов последовательности sn:

1,3,3,15,15,33,68,100,109,199.

Обозначим через h(N,M) количество таких пар (p,q), для которых

1≤p≤q≤N  и  (s_p + s_p+1 +… + s_q-1 + s_q ) mod M = 0

Можно проверить, что h(10,10)=5, а соответствующие пары – (1,6), (4,5), (4,9), (6,9) и (8,8).

h(10⁴,10³)= 107796.

Найдите h(10¹²,10⁶).

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.

Бесконечная последовательность a(n) определена для всех целых n следующим образом: 

Легко видеть, что

,

,

,

где e = 2,7182818... – основание натурального логарифма. 

Общий член последовательности a(n) можно записать в виде

с натуральными коэффициентами A(n) и B(n).

Например, 

Найдите остаток от деления A(10⁹) + B(10⁹) на 77 777 777. 

На каждую клетку доски N×N положили по шашке, окрашенной в белый цвет с одной стороны и в черный цвет с другой.

Каждым ходом разрешается перевернуть одну шашку, а вместе с нею N-1 шашек, стоящих  на одной с ней вертикали, и N-1 шашек, стоящих  на одной с ней горизонтали. Таким образом, каждым ходом игрок должен перевернуть 2×N-1 шашку. Игра заканчивается, когда все шашки будут стоять белой стороной вверх. Ниже приведен пример игры для доски 5×5.

Несложно проверить, чтобы закончить игру из данной начальной позиции, нужно как минимум 3 хода.

Пусть строки и столбцы перенумерованы целыми числами от 0 до N-1.

Построим на доске N×N начальную конфигурацию C_N. Для этого на клетку с координатами x и y положим шашку черной стороной вверх, если (N-1)²≤x²+y²<N², и белой стороной вверх в противном случае. Конфигурацию C₅ мы видели в приведенном примере.

Пусть T(N) – минимальное количество ходов, необходимых для окончания игры из начального положения C_N (если это невозможно T(N) = 0).

Ясно , что T(1)=T(2)=1. Мы видели, что T(5)=3. Можно проверить, что T(10)=29, а T(1000)=395253.

Найдите сумму T(k!) для 1≤k≤12.

Несколько чашек расставлены по кругу, и в каждой из них лежит одна горошина. Игрок совершает ходы следующим образом. Он берет все горошины из одной чашки и раскладывает их одну за другой в чашки, следующие за ней по часовой стрелке. При каждом следующем ходе горошины берут из той чашки, куда была положена последняя горошина на предыдущем ходе. Игра заканчивается, когда возвращается к исходному положению, т. е. в с каждой чашке снова оказывается по одной горошине. Вот игра для случая пяти чашек:

Как видно, для пяти чашек игра заканчивается за 15 ходов.

Обозначим через M(x) количество ходов в игре с  x  чашками. Тогда M(5) = 15. Можно проверить, что M(100) = 10920.

Найдите остаток от деления  на 7⁹.

Вагоны поезда обозначены буквами латинского алфавита: A,B,C,D..., и последовательность вагонов в железнодорожном составе можно задать с помощью соответствующей цепочки букв.

В правильно сформированном составе вагоны должны следовать алфавитном порядке. Добиваются этого на сортировочной станции, где установлен большой поворотный круг.

Когда состав въезжает на круг, несколько последних вагонов отцепляют, после чего локомотив с остальными вагонами съезжает с круга. Вагоны, стоящие на круге, поворачивают на 180 градусов и вновь прицепляют в хвост состава, но уже в обратном порядке. Эту операцию повторяют несколько раз, пока не достигают желаемого результата.

В некоторых случаях сформировать состав совсем просто. Например, когда исходный порядок вагонов ADCB, вагоны можно расцепить между A и D, затем развернуть фрагмент DCB, и, наконец, сцепить вагоны в нужном порядке. Результат достигается всего за один шаг, т.е. за один поворот круга на 180 градусов.

Возможно, процесс можно оптимизировать, но машинист пользуется совсем простым алгоритмом. Сначала он стремиться прицепить вагон A следом за паровозом, затем следом за ним вагон B, и так далее.

Машинист выяснил, что для состава из четырех вагонов потребуется не более 5 шагов. Максимальное количество - 5 операций - требуется для двух начальных последовательностей, а именно DACB и DBAC. Последовательности вагонов, требующие наибольшего количества операций для упорядочения, будем называть пессимальными.

Порядок формирования состава для начальной последовательности  DACB показан на рисунке.

Для состава из шести вагонов машинист составил список пессимальных последовательностей. Список содержал 24 последовательности. Последовательности он расположил в алфавитном порядке, и цепочка DFAECB оказалась на десятом месте от начала.

Представьте, что вам поручили составить список пессимальных последовательностей для составов из 11 вагонов и упорядочить получившийся список в алфавитном порядке.

На каком месте в списке окажется последовательность CIAKBGHFJDE?

Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Например, прямоугольник размером 9 × 4 клетки можно превратить в прямоугольники 18 × 2, 12 × 3 или 6 × 6, как показано на рисунке:

Аналогично, из прямоугольника 9 × 8 можно сделать прямоугольники размером 18 × 4 и 12 × 6 клеток.
Обозначим через F(w, h) количество различных прямоугольников, которые можно получить из прямоугольника размером w × h клеток. При этом прямоугольники с размерами a × b и b × a считаются одинаковыми, а прямоугольники, конгруэнтные исходному, не учитываются.
Тогда получим: F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Пусть G(N)=Σ F(w, h) для всех 0 < h ≤ w ≤ N.
Можно проверить, что G(10) = 55, G(10³) = 971745, а G(10⁵) = 9992617687.
Найдите ΣG(10^k), где 1≤k≤12. В качестве ответа укажите 8 младших цифр результата.