Найдите минимальное n при котором в записи 3ⁿ числа имеется 7 подряд идущих нулей.

Найдите количество различных троек натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что xⁿ+yⁿ=z^m (n и m - натуральные, n>2, m>1).

Рассмотрим различные тройки взаимно простых натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что x²+y²=z². Найдите количество натуральных чисел p < 10⁷, которые не входят ни в одну такую тройку.

В ряду 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15,... представлены числа, которые имеют простые делители только числа 2, 3 и 5. Продолжите этот ряд и найдите число в этом ряду, которое находится на месте с номером 10000. 

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

k-значное натуральное число называется сбалансированным, если сумма его первых  [k/2]  цифр его равна сумме последних  [k/2] цифр. Здесь  x  обозначает округление вверх, например, [π] = 4 и [5] = 5.
Понятно, что все палиндромы являются сбалансированными, как и число 13722.
Обозначим через T(n) сумму всех сбалансированных чисел, меньших, чем 10ⁿ.
Например, T(1) = 45, T(2) = 540 and T(5) = 334795890.
Найдите остаток от деления T(2000) на 3¹⁵.

Широко известна игра, где один из участников задумывает целое число, а другой пытается его угадать, задавая вопросы. В этой задаче исследуется вариант такой игры, когда задумывают натуральное число из промежутка [1,n], а в качестве вопросов разрешается называть натуральные числа из этого же интервала. При этом стоимость каждого вопроса равна названному числу. Допускаются ответы трех видов:

1. Ты назвал число меньше задуманного.
2. Ты угадал!
3. Ты назвал число больше задуманного.

Требуется определить  задуманное число и при этом минимизировать суммарную стоимость вопросов (в дальнейшем – цена игры). Для данного числа n назовем стратегию оптимальной, если она минимизирует цену игры для самого неудачного задуманного числа.

Например, при n=3 наилучшим первым ходом будет число "2". После этого при любом ответе можно будет точно определить задуманное число, поэтому больше вопросов не потребуется, и цена игры будет равна 2.

Если n=8, мы могли бы выбрать в качестве стратегии "бинарный поиск". Если первым ходом мы назовем число "4", а задуманное число будет больше, чем 4, нам потребуется еще два вопроса. Пусть вторым ходом мы называем число "6". Если задуманное число больше, чем 6, нам потребуется еще один ход, скажем, "7", и цена игры составит 4+6+7=17.

Мы можем существенно улучшить нашу стратегию для n=8, если первым ходом назовем число "5". Если задуманное число больше, чем 5, то вторым ходом мы можем назвать число "7", и этого будет достаточно для нахождения задуманного. Тогда цена игры составит 5+7=12. Если же задуманное число меньше, чем 5, то для его определения достаточно  вторым и третьим ходом назвать "3" и "1", а цена игры составит 5+3+1=9. Поскольку 12 > 9, в худшем случае цена игры при этой стратегии будет равна 12. Получается, что данная стратегия более выгодна, чем предыдущая, и оказывается, что она оптимальна, то есть никакая другая стратегия не может гарантировать для n=8 результат меньший, чем 12.

Пусть C(n) – максимальная цена игры, которая может получиться для оптимальной стратегии в худшем случае. 

Тогда C(1) = 0, C(2) = 1, C(3) = 2 и C(8) = 12.

Можно подсчитать, что  C(100) = 400.

Найдите С(500000).

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.