Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Рассмотрим числа t(n) вида 2n²-1 при n>1. Вот первые восемь таких чисел:
7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161
Шесть из них – простые, и только два (49=7×7 и 161=7×23) – составные. Сумма простых t(n) при n≤9 равна 7+17+31+71+97+127=350. Сумма простых t(n) при n≤10000 равна 135049480088. Найдите сумму простых t(n) при n≤3?10⁷. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка тупоугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² - 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка тупоугольных треугольников, стороны которых не превышают 30 000 000.

Последовательность 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... определена следующим образом:
1. T₁ = T₂ = T₃ = 1
2. T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3.
Можно показать, что число 27 не является делителем ни одного из членов этой последовательности, и это первое нечетное число, обладающее данным свойством.
Вот все нечетные числа, не превышающие 100 и не являющиеся делителями членов данной последовательности:
27, 81, 91
Их сумма равна 199.
Найдите сумму всех нечетных чисел, не превышающих 2011 и не являющихся делителями членов данной последовательности.

Рассмотрим число 3600. Оно имеет интересную особенность:
3600 = 48² + 36²
3600 = 20² + 2×40²
3600 = 30² + 3×30²
3600 = 40² + 5×20²
Аналогично, 98569 = 288² + 125² = 1² + 2×222² = 37² + 3×180² = 107²+5×132².
В 1747 году Эйлер выяснил, какие числа можно представить в виде суммы двух квадратов. А мы хотим выявить числа, которые допускают представление четырьмя следующими способами:
n = a₁² + b₁²,
n = a₂² + 2 b₂²,
n = a₃² + 3 b₃²,
n = a₅² + 5 b₅²,
где  все a_i и b_i – целые положительные числа.
Существует 144513 подобных чисел, не превышающих 2×10⁷.
А сколько таких чисел не превышает 2×10⁹?

Для произвольных строк A и B определим F_A,B как последовательность строк (A,B,AB,BAB,ABBAB,...), в которой каждая строка, начиная с третьей, является конкатенацией (соединением) двух предыдущих.
Затем определим D_A,B(n) как n–ый знак первого члена последовательности F_A,B, который содержит хотя бы n знаков.
Например, пусть A=1415926535, B=8979323846, и мы хотим найти, скажем, D_A,B(35).
Вот несколько первых членов последовательности F_A,B:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Тогда D_A,B(35) -это тридцать пятый знак пятого члена последовательности, то есть 9.
Теперь возьмем в качестве A первые сто знаков после запятой числа π:
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679,
а в качестве B возьмем следующие сто знаков:
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196.
Найдите ΣD_A,B(n²) для 1<=n<=1000000.

Совершенные числа равны сумме своих делителей (исключая само число). Полусовершенными числами назовем натуральные числа, которые на единицу больше или меньше суммы своих делителей. Например, 2 или 4. Найдите сумму всех полусовершенных чисел, меньших 10⁹.