На доске записали 17-значное число, являющееся полным квадратом. Затем 8 цифр стерли и заменили их звездочками. Вот, что получилось:
1 * 4 * 1 * 4 * 1 * 4 * 1 * 4 * 1
Найдите сумму всех 17-значных чисел, которые могли быть написаны на доске первоначально.

Рассмотрим числа t(n) вида 2n²-1 при n>1. Вот первые восемь таких чисел:
7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161
Шесть из них – простые, и только два (49=7×7 и 161=7×23) – составные. Сумма простых t(n) при n≤9 равна 7+17+31+71+97+127=350. Сумма простых t(n) при n≤10000 равна 135049480088. Найдите сумму простых t(n) при n≤3?10⁷. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Последовательность 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... определена следующим образом:
1. T₁ = T₂ = T₃ = 1
2. T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3.
Можно показать, что число 27 не является делителем ни одного из членов этой последовательности, и это первое нечетное число, обладающее данным свойством.
Вот все нечетные числа, не превышающие 100 и не являющиеся делителями членов данной последовательности:
27, 81, 91
Их сумма равна 199.
Найдите сумму всех нечетных чисел, не превышающих 2011 и не являющихся делителями членов данной последовательности.

Рассмотрим число 3600. Оно имеет интересную особенность:
3600 = 48² + 36²
3600 = 20² + 2×40²
3600 = 30² + 3×30²
3600 = 40² + 5×20²
Аналогично, 98569 = 288² + 125² = 1² + 2×222² = 37² + 3×180² = 107²+5×132².
В 1747 году Эйлер выяснил, какие числа можно представить в виде суммы двух квадратов. А мы хотим выявить числа, которые допускают представление четырьмя следующими способами:
n = a₁² + b₁²,
n = a₂² + 2 b₂²,
n = a₃² + 3 b₃²,
n = a₅² + 5 b₅²,
где  все a_i и b_i – целые положительные числа.
Существует 144513 подобных чисел, не превышающих 2×10⁷.
А сколько таких чисел не превышает 2×10⁹?

Для произвольных строк A и B определим F_A,B как последовательность строк (A,B,AB,BAB,ABBAB,...), в которой каждая строка, начиная с третьей, является конкатенацией (соединением) двух предыдущих.
Затем определим D_A,B(n) как n–ый знак первого члена последовательности F_A,B, который содержит хотя бы n знаков.
Например, пусть A=1415926535, B=8979323846, и мы хотим найти, скажем, D_A,B(35).
Вот несколько первых членов последовательности F_A,B:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Тогда D_A,B(35) -это тридцать пятый знак пятого члена последовательности, то есть 9.
Теперь возьмем в качестве A первые сто знаков после запятой числа π:
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679,
а в качестве B возьмем следующие сто знаков:
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196.
Найдите ΣD_A,B(n²) для 1<=n<=1000000.

Совершенные числа равны сумме своих делителей (исключая само число). Полусовершенными числами назовем натуральные числа, которые на единицу больше или меньше суммы своих делителей. Например, 2 или 4. Найдите сумму всех полусовершенных чисел, меньших 10⁹.

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.

Напомним, что функция Эйлера φ(n) определена для натуральных аргументов n и равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
6227180929 является наименьшим числом, для которых φ(n)=13!
Найдите сумму всех n, для которых φ(n)=13!

Дано множество простых чисел, не превышающих 5000:
S = {2, 3, 5, ..., 4999}
Найдите, сколько оно содержит подмножеств, у которых количество элементов нечетно, а сумма элементов является простым числом.
В качестве ответа укажите последние 16 знаков результата.

Найдите количество непустых подмножеств множества

{1²⁵⁰²⁵⁰, 2²⁵⁰²⁴⁹, 3²⁵⁰²⁴⁸,... , 250249², 250250¹},

у которых сумма элементов кратна числу 250. В качестве ответа укажите 16 младших десятичных цифр результата.