Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В строке записаны символы A и B в произвольном порядке, длина строки - 100 символов. За один шаг можно переставить любую группу из последовательных символов A или B. За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку так, чтобы сначала были буквы A, а потом B?

Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Если мы знаем только k членов последовательности, мы не можем однозначно описать следующий ее член с помощью многочленов.
Для примера давайте рассмотрим последовательность кубов натуральных чисел. Она порождается функцией u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Допустим, нам известны только два первых члена последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы можем воспользоваться линейной функцией и предсказать, что следующее за 1 и 8 значение будет равно 15. Если мы знаем три члена последовательности, то, пользуясь все тем же принципом простоты, мы можем описать ее квадратичным многочленом.
Обозначим через OP(k, n) n-ый член последовательности, порожденной оптимальным полиномиальным приближением, основанном на знании первых k членов последовательности. Ясно, что значения многочлена OP(k, n) точно совпадут с первыми k членами последовательности, а первым несовпадающим членом (ПНЧ), если есть такой, будет OP(k, k+1); если у многочлена имеется OP(k, n), который при некотором n несовпадает с соответствующим членом последовательности, мы будем называть недостаточным.
Выпишем первые OP для кубической последовательности:
k=1 OP(1, n) = 1 : 1, 1, 1, 1, ...
k=2 OP(2, n) = 7n-6 : 1, 8, 15, ...
k=3 OP(3, n) = 6n²-11n+6 : 1, 8, 27, 58, ...
k=4 OP(4, n) = n³ : 1, 8, 27, 64, 125, ...
Ясно, что для кубической последовательности есть только три недостаточных многочлена.  Их ПНЧ показаны в таблице синим цветом. Вычислив сумму ПНЧ для всех нехороших многочленов, получим  1 + 15 + 58 = 74.
Рассмотрим последовательность, заданную следующим многочленом десятой степени:
u_n  = -n + 2n² - 3n³ + 4n⁴ - 5n⁵ + 6n⁶ - 7n⁷ + 8n⁸ - 9n⁹ + 10n¹⁰
Найдите сумму ПНЧ всех недостаточных многочленов для данной последовательности.

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.
Найдите количество особых множеств А, содержащих 7 элементов, для которых S(A) ≤ 333.

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением:

F_n = F_n-1 + F_n-2, где F₁ = 1 и F₂ = 1.

317-ый член последовательности Фибоначчи равен

793591407804151926593793042126891128819610710140145037958273777397.

Три его первые цифры совпадают с тремя последними, но идут в обратном порядке. Это наименьший член последовательности, обладающий данным свойством.

Пусть F_k - наименьший член последовательности, у которого пять первых цифр совпадают с пятью последними, но идут в обратном порядке.

Найдите k.