Операция возведения в сверхстепень, или тетрация, обозначается как a↑↑b или ^ba, и определяется для натуральных a и b следующим образом:
a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a (a↑↑k).
Так, 3↑↑2 = 3³ = 27, отсюда 3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987, а 3↑↑4 примерно равно 10^{3638334640024,1}.
Найдите 8 последних цифр числа 2011 ↑↑ (2011 ↑↑ 2011).

В одном университете очень строго следят за посещаемостью и дисциплиной. Если в контрольный  период студент хотя бы дважды опаздывает или в течение любых трех дней подряд хотя бы дважды прогуливает, то его лишают стипендии.
Если контрольный период продолжается n дней, то его можно зашифровать строкой из n символов, используя букву L для опозданий, A для прогулов и O для дней, когда студент приходил на занятия вовремя.
Из 81 возможной строки для 4-дневного зачетного периода стипендиальным требованиям удовлетворяют 24 строки:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAL OOLO OOLA OAOO OAOL OALO OLOO OLOA OLAO AOOO AOOA AOOL AOLO AOLA ALOO ALOA LOOO LOOA LOAO LAOO

А сколько строк удовлетворяет стипендиальным требованиям для 30-дневного зачетного периода?

На Олимпиаде в Индии, которую проводил Маугли, в забегах приняли участие все животные - и жалкие дождевые черви, и вожак стаи старый Акелла, и даже злобный Шер-Хан. Их оказалось очень много - ровно 1 миллиард. Все животные получили последовательные номера от единицы и до одного миллиарда.

После первого забега победили участники у которых были нечетные номера, их заново пронумеровали - 1-й сохранил свой номер, участник с номером 3-й номер стал 2-м, с номером 5 - стал 3-м и так далее, проигрывшие выбыли из соревнования.

Во втором забеге победили все участники, которые имели четные номера, их также заново пронумеровали: 2-й стал 1-м, 4-й - 2-м, 6-й - 3-м и так далее.

Как потом выяснилось, и далее в нечетных забегах побеждали участники с нечетными номерами, а в четных - с четными, и каждый раз после очередного забега участников перенумеровывали по той же схеме.

В конце концов победила хитрая Багира. Выясните какой у нее был номер в начале сревнований?

Автоморфные числа - это числа, десятичная запись квадрата которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, число 5 (5²=25) или 6 (6²=36). Эти числа составляют последовательность: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9 376, 90 625, 109 376, 890 625,... (0 не считается).

В системе счисления с основанием 14 также имеются автоморфные числа. Рассмотрим ряд из этих чисел. Найдите число, находящееся на 28-м месте в этом ряду.

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Назовем натуральное число дважды квадратным, если оно является квадратом натурального числа и из его цифр можно составить большее число, также являющееся квадратом натурального числа. Например, 256 = 16² - дважды квадратное, поскольку 625=25². Найдите количество дважды квадратных чисел, меньших 10¹⁵.

Построим треугольник из натуральных чисел так, как показано на рисунке, и отметим в нем простые числа:

1          
2   3         
4   5   6        
7   8   9  10       
11 12 13 14 15      
16 17 18 19 20 21     
22 23 24 25 26 27 28    
29 30 31 32 33 34 35 36   
37 38 39 40 41 42 43 44 45  
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
…

Каждое число в этом треугольнике может иметь до восьми соседей.
Будем называть тройку простых чисел простым триплетом, если два из них являются соседями третьего. Например, числа 2 и 3 из второй строки треугольника являются элементами одного простого триплета.
В восьмой строке два простых числа являются элементами простых триплетов, а именно 29 и 31.
В девятой строке только число 37 является элементом простого триплета.
Обозначим через S(n) сумму простых чисел в n-ой строке, являющихся элементами простых триплетов.
Так, S(8)=60, S(9)=37, а S(10000)=950007619.

Найдите max(S(n)) при 3000000<=n<3000010

Подсчитать количество 100-значных натуральных чисел, в которых суммы цифр в двоичной и десятичной системах счисления совпадают.

Рассмотрим треугольник Паскаля:

 1 
 1  1 
 1  2  1 
 1  3  3  1 
 1  4  6  4  1 
 1  5  10  10  5  1 
 1  6  15  20  15  6  1 
1  7  21  35  35  21  7  1
.........

В первых восьми его строках содержится 12 различных чисел:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 и 35.
Назовем натуральное число свободным от квадратов, если оно не кратно никакому квадрату простого числа. В первых восьми строках  треугольника Паскаля содержится 10 различных чисел, свободных от квадратов, а два числа – 4 и 20 – не свободны от квадратов.
Сколько различных чисел, свободных от квадратов, содержится в первых 500 строках треугольника Паскаля?

Числами Хэмминга называются такие натуральные числа, у которых нет простых делителей, больших, чем 5. Вот первые числа Хэмминга: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15. Их сумма равна 75. Существует 1105 чисел Хэмминга, не превышающих 10⁸. Их сумма равна 14954859000

Если у натурального числа нет простых делителей, превышающих n, мы будем называть его обобщенным числом Хэмминга типа n. Например, числа Хэмминга являются обобщенными числами Хэмминга типа 5.

Найдите сумму обобщенных чисел Хэмминга типа 70, не превышающих 2?10⁹.