Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке:

Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?

На плоскости даны четыре точки с целочисленными координатами: A(a, 0), B(b, 0), C(0, c) и D(0, d), где 0 < a < b и 0 < c < d.

Точка P(x,y) с целочисленными координатами выбрана на отрезке AC так, что треугольники ABP, CDP и BDP оказываются подобными.

Легко показать, что при этом a=c=x+y. Поэтому, задав подходящим образом четверку чисел (x,y,b,d), мы однозначно определим размер и положение наших треугольников.

Например, четверки (x,y,b,d)=(1,1,3,4) и (x,y,b,d)=(1,1,4,3) обе удовлетворяют указанным условиям: каждая из них задает три подобных треугольника. Мы будем считать различными такие четверки, отвечающие взаимно симметричным конфигурациям.

При b+d<100 существует 110 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

При b+d<100 000 существует 395662 различных четверок, задающих три подобных треугольника.

Сколько существует различных четверок, задающих три подобных треугольника при b+d<100 000 000?

Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p².

Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа.

Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 2⁵•3³ и 1800 = 2³•3²•5² — ахиллесовы.

Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы.  Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. 

Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 2⁵•3², а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 2⁵•3¹•5¹.

Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396.

Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.

Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи:

S =1234567891011121314151617181920212223242...

Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее.

Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365.

Найдите ∑f(11^k), где 1≤k≤6.

Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми.

Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175).

А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h?

Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом.

Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c).

Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными.

Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция.

Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.

Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с  целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO.

Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным.

Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|²+|BC|²+|CD|²+|AD|² ≤ N..

Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. 

Найдите B(10 000 000 000).

Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. 

Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево.

Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора.

Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. 

Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м², а отношение площади к длине ограды  равно 125.

Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*250² м², длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125.

Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м², длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.

Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.

Вагоны поезда обозначены буквами латинского алфавита: A,B,C,D..., и последовательность вагонов в железнодорожном составе можно задать с помощью соответствующей цепочки букв.

В правильно сформированном составе вагоны должны следовать алфавитном порядке. Добиваются этого на сортировочной станции, где установлен большой поворотный круг.

Когда состав въезжает на круг, несколько последних вагонов отцепляют, после чего локомотив с остальными вагонами съезжает с круга. Вагоны, стоящие на круге, поворачивают на 180 градусов и вновь прицепляют в хвост состава, но уже в обратном порядке. Эту операцию повторяют несколько раз, пока не достигают желаемого результата.

В некоторых случаях сформировать состав совсем просто. Например, когда исходный порядок вагонов ADCB, вагоны можно расцепить между A и D, затем развернуть фрагмент DCB, и, наконец, сцепить вагоны в нужном порядке. Результат достигается всего за один шаг, т.е. за один поворот круга на 180 градусов.

Возможно, процесс можно оптимизировать, но машинист пользуется совсем простым алгоритмом. Сначала он стремиться прицепить вагон A следом за паровозом, затем следом за ним вагон B, и так далее.

Машинист выяснил, что для состава из четырех вагонов потребуется не более 5 шагов. Максимальное количество - 5 операций - требуется для двух начальных последовательностей, а именно DACB и DBAC. Последовательности вагонов, требующие наибольшего количества операций для упорядочения, будем называть пессимальными.

Порядок формирования состава для начальной последовательности  DACB показан на рисунке.

Для состава из шести вагонов машинист составил список пессимальных последовательностей. Список содержал 24 последовательности. Последовательности он расположил в алфавитном порядке, и цепочка DFAECB оказалась на десятом месте от начала.

Представьте, что вам поручили составить список пессимальных последовательностей для составов из 11 вагонов и упорядочить получившийся список в алфавитном порядке.

На каком месте в списке окажется последовательность CIAKBGHFJDE?