Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел a_i = x_i/y_i следующим образом:
a₁ = 1/k
a_i = (x_i-1+1)/(y_i-1-1) при i>1.
При этом все дроби x_i/y_i будем приводить к несократимому виду.
Мы будем продолжать последовательность до тех пор, пока нам не встретится целое число n.
Определим функцию  f(k)  как f(k) = n.
Например, при k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Поэтому f(20) = 6.

Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k³) = 18764 для простых k, не превышающих 100.

Найдите Σf(k³) для простых k, не превышающих 5×10⁶.

Возьмем матрицу n×n, выберем из нее n элементов так, чтобы никакие два из них не стояли в одной строке или столбце, и найдем их сумму. Минимальное значение такой суммы будем называть матричной суммой для данной матрицы.
Например, для матрицы:

  7  53 183 439 863
497 383 563  79 973
287  63 343 169 583
627 343 773 959 943
767 473 103 699 303

матричной суммой будет число 1075=7+79+343+343+303.

Найдите матричную сумму для матрицы:

  7  53 183 439 863 497 383 563  79 973 287  63 343 169 583
627 343 773 959 943 767 473 103 699 303 957 703 583 639 913
447 283 463  29  23 487 463 993 119 883 327 493 423 159 743
217 623   3 399 853 407 103 983  89 463 290 516 212 462 350
960 376 682 962 300 780 486 502 912 800 250 346 172 812 350
870 456 192 162 593 473 915  45 989 873 823 965 425 329 803
973 965 905 919 133 673 665 235 509 613 673 815 165 992 326
322 148 972 962 286 255 941 541 265 323 925 281 601  95 973
445 721  11 525 473  65 511 164 138 672  18 428 154 448 848
414 456 310 312 798 104 566 520 302 248 694 976 430 392 198
184 829 373 181 631 101 969 613 840 740 778 458 284 760 390
821 461 843 513  17 901 711 993 293 157 274  94 192 156 574
 34 124   4 878 450 476 712 914 838 669 875 299 823 329 699
815 559 813 459 522 788 168 586 966 232 308 833 251 631 107
813 883 451 509 615  77 281 613 459 205 380 274 302  35 805

Запишем число 57 в системах счисления по основанию 4 и 28:

57₁₀=321₄=21₂₈

В обоих случаях 

• последней цифрой оказалась единица, 
• цифры в записи числа убывают, 
• каждая последующая цифра меньше предыдущей на единицу. 

При выполнении этих условий будем говорить, что число имеет специальный вид в данной системе счисления.

Так, число 57 имеет специальный вид в системах счисления с основаниями 4 и 28.

Существует пять натуральных чисел 1<n<500, имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления, а именно 57, 121, 209, 321 и 457. Их сумма равна 1165.

Найдите сумму n (1<n<10¹²), имеющих специальный вид хотя бы в двух системах счисления.

Многие числа могут быть представлены в виде суммы куба и квадрата, а некоторые из них даже несколькими способами.
Рассмотрим число 37873.
Во-первых, оно может быть записано в виде суммы куба и квадрата тремя способами:

37873 = 18³+179² = 22³+165² = 33³+44²

Во-вторых, оно является палиндромом, то есть его десятичная запись читается слева направо и справа налево одинаково.

Найдите сумму палиндромов, не превышающих миллиарда, которые можно представить в виде суммы куба и квадрата не менее чем тремя способами.

По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:

• Если он находится на черной клетке, он перекрашивает клетку в белый цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов против часовой стрелки и переходит в соседнюю клетку.
• Если он находится на белой клетке, он перекрашивает клетку в черный цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов по часовой стрелке и переходит в соседнюю клетку.

Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Найдите |x|+|y| после 10¹⁸ шагов.

В этой задаче мы будем рассматривать конечные последовательности натуральных чисел, например, (2,4,6), (2,6,4), (10,6,15,6) и (11).
Наибольшим общим делителем последовательности (gcd) будем называть наибольшее натуральное число, являющееся делителем каждого члена последовательности. Например, gcd(2,6,4) = 2, gcd(10,6,15,6) = 1 и gcd(11) = 11.
Наименьшим общим кратным последовательности (lcm) будем называть наименьшее натуральное число, кратное каждому члену последовательности, например, lcm(2,6,4) = 12, lcm(10,6,15,6) = 30 и lcm(11) = 11.
Обозначим через f(G, L, N) количество последовательностей длины N у которых gcd ≥ G и lcm ≤ L. Например:
f(10, 100, 1) = 91.
f(10, 100, 2) = 327.
f(10, 100, 3) = 1135.
f(10, 100, 1000) mod 101⁴ = 3286053.
Здесь a mod b означает остаток от деления a на b.
Найдите f(10⁶, 10¹², 10¹⁰⁰) mod 101⁴.

Фруктовый сад имеет шестиугольную форму, а деревья в саду растут в вершинах треугольной решетки. На рисунке показан план такого сада со стороной n=5:

Из центра сада можно увидеть только часть деревьев, поскольку некоторые (они на рисунке обозначены зеленым цветом) заслонены другими, растущими ближе к наблюдателю. Легко подсчитать, что для сада со стороной n=5 количество заслоненных деревьев равно 30.
Обозначим через H(n) количество заслоненных деревьев для шестиугольного сада со стороной n.
Можно проверить, что H(5) = 30, H(10) = 138, а H(1000) = 1177848.
Найдите H(1234567890).

Рассмотрим множества, состоящие из взаимно простых натуральных чисел, не превышающих n.
Обозначим через Co(n) максимально возможную сумму элементов такого множества.
Например, Co(10)=30, и это значение достигается для множества {1, 5, 7, 8, 9}.
Можно проверить, что Co(30) = 193 и Co(100) = 1356.
Найдите Co(1000000).

Циклическим называют натуральное число из n знаков, обладающее следующим интересным свойством: если умножить его на 1, 2, 3, 4,…, n-1 или n, то произведение будет состоять из тех же цифр, но переставленных циклически.

Если не считать тривиального числа 1, наименьшим циклическим числом будет 142857:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Если, как это обычно принято, не писать нулей в старших разрядах, то больше циклических чисел мы не обнаружим. Однако если начинать с нулей, можно найти их бесконечно много, например, следующим циклическим будет 16-значное число 0588235294117647:

0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Найдите наибольшее циклическое число, которое начинается цифрами 00000000123 и заканчивается цифрами 56789 (то есть число вида 00000000123...56789, где многоточие означает некоторое неизвестное количество цифр). В качестве ответа укажите сумму его цифр.