Чему равна сумма цифр находящихся на местах с простыми номерами в десятичной записи числа 2¹⁰⁰⁰⁰?

Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В строке записаны символы A и B в произвольном порядке, длина строки - 100 символов. За один шаг можно переставить любую группу из последовательных символов A или B. За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку так, чтобы сначала были буквы A, а потом B?

Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Если мы знаем только k членов последовательности, мы не можем однозначно описать следующий ее член с помощью многочленов.
Для примера давайте рассмотрим последовательность кубов натуральных чисел. Она порождается функцией u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Допустим, нам известны только два первых члена последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы можем воспользоваться линейной функцией и предсказать, что следующее за 1 и 8 значение будет равно 15. Если мы знаем три члена последовательности, то, пользуясь все тем же принципом простоты, мы можем описать ее квадратичным многочленом.
Обозначим через OP(k, n) n-ый член последовательности, порожденной оптимальным полиномиальным приближением, основанном на знании первых k членов последовательности. Ясно, что значения многочлена OP(k, n) точно совпадут с первыми k членами последовательности, а первым несовпадающим членом (ПНЧ), если есть такой, будет OP(k, k+1); если у многочлена имеется OP(k, n), который при некотором n несовпадает с соответствующим членом последовательности, мы будем называть недостаточным.
Выпишем первые OP для кубической последовательности:
k=1 OP(1, n) = 1 : 1, 1, 1, 1, ...
k=2 OP(2, n) = 7n-6 : 1, 8, 15, ...
k=3 OP(3, n) = 6n²-11n+6 : 1, 8, 27, 58, ...
k=4 OP(4, n) = n³ : 1, 8, 27, 64, 125, ...
Ясно, что для кубической последовательности есть только три недостаточных многочлена.  Их ПНЧ показаны в таблице синим цветом. Вычислив сумму ПНЧ для всех нехороших многочленов, получим  1 + 15 + 58 = 74.
Рассмотрим последовательность, заданную следующим многочленом десятой степени:
u_n  = -n + 2n² - 3n³ + 4n⁴ - 5n⁵ + 6n⁶ - 7n⁷ + 8n⁸ - 9n⁹ + 10n¹⁰
Найдите сумму ПНЧ всех недостаточных многочленов для данной последовательности.

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

При игре в дартс участники метают три коротких дротика в мишень, разделенную на двадцать равных секторов, которые пронумерованы числами от 1 до 20.

Количество заработанных очков зависит от того, куда дротик воткнулся. Попадание дротика за пределами внешнего красно-зеленого кольца  не приносит очков. Попадание дротика в черный или желтый сектор внутри этого кольца приносит очки в соответствии с номером сектора. Внешнее красно-зеленое кольцо означает удвоение числа сектора, а внутреннее  - утроение. Два концентрических круга в центре мишени образуют "яблочко". Наружный зеленый круг дает 25 очков, а внутренний красный - 50. Он считается двойным (25x2=50).

Существует несколько вариантов игры. В самом распространенном из них игроки в начале игры имеют 301 или 501 очко, а затем последовательно вычитают заработанные очки. Выигрывает тот, у кого останется ровно ноль очков. Однако победа засчитывается только в том случае, если последний бросок, сводящий число очков к нулю, был "двойным", то есть попал во внешнее красно-зеленое кольцо или в красное "яблочко". В противном случае, а также когда после серии из трех бросков получается отрицательная сумма очков или единица, вся серия не засчитывается, и счет остается прежним.

Положение, при котором участник может завершить игру, называют "чекаут" (англ. checkout). Максимальный чекаут возможен при 170 очках: T20 T20 D25 (два попадания с утроением в сектор 20 и одно попадание в красное яблочко).

Есть ровно 11 способов окончить игру при шести очках:

D3   
D1  D2   
S2  D2   
D2  D1   
S4  D1   
S1  S1  D2
S1  T1  D1
S1  S3  D1
D1  D1  D1
D1  S2  D1
S2  S2  D1

Обратите внимание, что серии D1 D2 и D2 D1 считаются различными, поскольку последние броски с удвоением у них различны. Однако комбинации S1 T1 D1 и T1 S1 D1 считаются  одинаковыми. Кроме того, мы не учитываем промахи. D3 считается тем же исходом, что и 0 D3 или 0 0 D3.
Всего существует 42336 различных способов завершить игру. При оставшихся 6 очках можно завершить игру 11 способами, при 8 - 22 способами.
А при каком количестве очков можно завершить игру наибольшим числом способов?

Изучим целые положительные решения уравнения
1/x + 1/y =1/n

при различных натуральных n.
Для  n = 4 уравнение будет иметь ровно три различных решения:
1/5 + 1/20 = 1/4
1/6 + 1/12 = 1/4
1/8 + 1/8 = 1/4

Для какого n, не превышающего 15·10¹⁵, уравнение будет иметь больше всего решений?
Замечание: Эта задача - существенно усложненная версия задачи 197. Решить ее "в лоб" вряд ли удастся.

В пространстве размещен куб с вершинами в точках (0,0,0), (0,0,1000), (0,1000,0) и (1000,0,0). В куб вписаны 8 шаров диаметром 500.  Сколько точек с целочисленными координатами лежат внутри куба, но не попадают внутрь шаров?