Пусть  a, b, c – натуральные числа, а функция F(n) определена следующим образом:
F(n) = n - c при n > b
F(n) = F(a + F(a + F(a + F(a + n)))) при n ≤ b. 
Пусть также 

Тогда, например, при a = 50, b = 2000 и c = 40, получим F(0) = 3240, F(2000) = 2040,
а Z(50, 2000, 40) = 5044935.
Найдите остаток от деления Z(21⁷, 7²¹, 12⁷) на 987654321.

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.

Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты.
Одна из этих монет — серебряный доллар — ценная, а остальные — медные — ценности не представляют. Игроки могут совершать ходы двух типов:
1. Сдвинуть любую монету влево на одну или несколько клеток. При этом поставить монету можно только на свободную клетку, и перескакивать через занятые клетки нельзя.
2. Забрать с доски монету, ближайшую к левому краю.
Если ходов первого типа нет, игрок обязан забрать самую левую монету.
Выигрывает тот, кто заберет серебряный доллар.

Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Пусть L(n,c) – количество проигрышных позиций для поля из n клеток, на которое расставляют c медных монет и один серебряный доллар.
Можно проверить, что L(10,3)=150 и L(103,13)= 32792060838490304.
Найдите остаток от деления L(1000003,103) на 1000003.

В этой задаче мы будем рассматривать натуральные числа, имеющие ровно три простых делителя. Например, число 240 имеет простые делители 2,3 и 5. Это наибольшее число, не превышающее 250, имеющее эти три простых делителя и не имеющее других.

Для различных простых чисел p, q и r обозначим через M(p,q,r,N) наибольшее натуральное число, не превышающее N, которое делится на p, q и r, но не имеет других простых делителей. Если таких чисел нет, будем считать, что M(p,q,r,N)=0.

Например:

• M(2,3,5,250)=240.
• M(2,3,7,250)=168, а не 210, поскольку число 210 имеет 4 простых делителя.
• M(3,7,13,250)=0, поскольку нет натуральных чисел, не превышающих 250, которые делятся на 3, 7 и 13.

Пусть S(N) – сумма различных значений M(p,q,r,N) для всех сочетаний p, q и r. Так, S(250)= 4588.

Найдите  S(10 000 000).

Пусть a(n) – наибольший корень многочлена P(x) = x³ - 3ⁿx² + n, например a(2)=8,97517184...
Пусть t(n,p)=[a(n)^p], где скобки […] означают округление вниз до целого.

Найдите восемь младших десятичных знаков суммы ∑t(i,333333333) для i=1,2,3,...30.

Возьмем натуральное число n и рассмотрим последовательность s(n)={1+n/1, 2+n/2, 3+n/3, …k+n/k,…}. Если эта последовательность не содержит целых составных чисел, будем говорить, что число n не порождает составных.
Легко проверить, что последовательность s(30)={31, 17, 13, 11.5, 11, 11, …} содержит только простые и нецелые числа. Поэтому число 30 не порождает составных.
Найдите количество восьмизначных чисел, которые не порождают составных.

В отеле "Инфинити" бесконечно много этажей, на каждом этаже бесконечно много комнат, а к администратору выстроилась бесконечно длинная очередь. И этажи, и комнаты на каждом этаже, и посетители перенумерованы подряд натуральными числами (1, 2, 3, …).
В начальный момент все комнаты отеля свободны. Чтобы поселить очередного гостя с номером n,  администратор выбирает самый нижний этаж, на котором либо пока никто не живет, либо последний поселившийся имеет такой номер m, что m+n является квадратом целого числа. Новый гость получает первый свободный номер на выбранном этаже.
 Гость №1 получает комнату №1 на первом этаже, поскольку на нем еще никто не живет.
 Гостя №2 нельзя поселить в комнате №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+2=3 не является квадратом. Этого гостя можно поселить на втором, пока еще пустом этаже, в комнате №1.
 Гость №3 получает комнату №2 на первом этаже, поскольку сумма 1+3=4 является квадратом.
Таким образом, каждый гость получит свою комнату в отеле.
Обозначим через P(f, r) номер посетителя, живущего в комнате r на этаже f.
Тогда:
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454
Найдите сумму P(f, r) для всех f и r, таких что f² + r² = 14234886498625 .