Автоморфные числа - это числа, десятичная запись квадрата которых оканчивается цифрами самого этого числа. Например, число 5 (5²=25) или 6 (6²=36). Эти числа составляют последовательность: 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9 376, 90 625, 109 376, 890 625,... (0 не считается).

В системе счисления с основанием 14 также имеются автоморфные числа. Рассмотрим ряд из этих чисел. Найдите число, находящееся на 28-м месте в этом ряду.

Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Известная задача от компании Google звучит так: найдите первое 10-значное простое число, состоящее из последовательных цифр в записи числа e. Немного усложним условие - найдите первое 11-значное число.

Назовем натуральное число дважды квадратным, если оно является квадратом натурального числа и из его цифр можно составить большее число, также являющееся квадратом натурального числа. Например, 256 = 16² - дважды квадратное, поскольку 625=25². Найдите количество дважды квадратных чисел, меньших 10¹⁵.

Построим треугольник из натуральных чисел так, как показано на рисунке, и отметим в нем простые числа:

1          
2   3         
4   5   6        
7   8   9  10       
11 12 13 14 15      
16 17 18 19 20 21     
22 23 24 25 26 27 28    
29 30 31 32 33 34 35 36   
37 38 39 40 41 42 43 44 45  
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
…

Каждое число в этом треугольнике может иметь до восьми соседей.
Будем называть тройку простых чисел простым триплетом, если два из них являются соседями третьего. Например, числа 2 и 3 из второй строки треугольника являются элементами одного простого триплета.
В восьмой строке два простых числа являются элементами простых триплетов, а именно 29 и 31.
В девятой строке только число 37 является элементом простого триплета.
Обозначим через S(n) сумму простых чисел в n-ой строке, являющихся элементами простых триплетов.
Так, S(8)=60, S(9)=37, а S(10000)=950007619.

Найдите max(S(n)) при 3000000<=n<3000010

Подсчитать количество 100-значных натуральных чисел, в которых суммы цифр в двоичной и десятичной системах счисления совпадают.

Какое наименьшее число N можно представить в виде произведения N = A?B ровно 64 способами? Произведения A?B и B?А считаются одним способом, все числа натуральные.

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

Возьмем некоторое вещественное число x, и будем рассматривать его рациональные приближения, записывая их в виде несократимой дроби p/q.
Для данного x назовем наилучшим приближением с максимальным знаменателем d такое рациональное число r/s, для которого
1. s ≤ d
2. для любого лучшего рационального приближения p/q знаменатель q будет больше, чем d (из |x-p/q|<|x-r/s| следует q > d).
Как правило, у вещественных чисел имеется только одно наилучшее приближение с выбранным максимальным знаменателем. Однако есть и исключения. Например, число 9/40 имеет два наилучших приближения для максимального знаменателя 1/6, а именно 1/4 и 1/5. Если хотя бы для одного максимального знаменателя число имеет два различных наилучших приближения, мы будем называть такое число двойственным. Ясно, что все двойственные числа являются рациональными.
Сколько существует двойственных чисел x = p/q, 1/30 ≤ x < 1/20, у которых знаменатель q не превышает 10⁸?

Рассмотрим числа, обладающие следующими тремя свойствами:

1. Число представимо в виде p³q², где p и q - различные простые числа (например, 72, 200, 500)
2. Число содержит подстроку "200" в своей десятичной записи (например, 200, 1200, 1202005657)
3. Изменив в десятичной записи числа одну цифру, невозможно получить простое число (например, 200, 325, 1268)

Первые два числа, удовлетворяющие всем трем условиям – это 200 и 1992008. Сумма первых двух чисел, обладающих одновременно свойствами 1, 2 и 3 равна 1992208.

Найдите сумму первых двухсот чисел, обладающих одновременно свойствами 1, 2 и 3.

Для числового множества A обозначим через sum(A) сумму его элементов.
Например, если множество B = {1,3,6,8,10,11}, то sum(B)= 1+3+6+8+10+11=39.

Вычислим суммы для всех 20 трехэлементных подмножеств множества B:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Некоторые из этих сумм встречаются несколько раз, а некоторые – лишь однажды.
Выпишем в порядке возрастания все уникальные суммы (встречающиеся ровно один раз):
10,12,14,18,21,25,27,29
Наибольшая разница между соседними числами в этой последовательности равна 4 (она встречается в последовательности дважды: 4=18-14 и 4=25-21). Обозначим найденную таким образом величину как D(A,m), где A – исходное множество, а m – количество элементов в подмножестве. Таким образом, D(B,3)=4.

Теперь рассмотрим множество S, состоящее из 120 элементов:
S = {1², 2², ... , 120²}.
Множество S имеет 96614908840363322603893139521372656 подмножеств, состоящих из 60 элементов. Найдите D(S,60) – наибольшую разность между последовательными уникальными суммами 60-элементных подмножеств множества S.