Лента событий:
Lec
добавил
комментарий к решению задачи
"Параллелограмм и две биссектрисы" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
9
всего попыток:
12
Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a1, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:
Обозначим этот случай символом "d". Найдите все a1<1015, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
Задачу решили:
0
всего попыток:
3
Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения. В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке. Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну). Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды? Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.
Задачу решили:
5
всего попыток:
10
Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей. Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми. Например, f(2,1)=1, f(2,2)=f(3,1)=2 и f(3,2)=16. Случай f(3,2) показан на рисунке:
Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 1015.
Задачу решили:
7
всего попыток:
9
Трехзначное число 376 в десятичной системе счисления обладает одним интересным свойством: его квадрат заканчивается теми же цифрами 3, 7 и 6, 3762 = 141376.Будем называть натуральные числа, обладающие этим свойством, устойчивыми. Устойчивые числа есть и в других системах счисления. Например, в системе счисления по основанию 14 устойчивым является число c37. Действительно, c372 = aa0c37. Наибольшее 10-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления равно 7337aa0c37. В десятичной записи это число равно 149429406721. (В 14-ичной системе счисления буквами a, b, c и d мы обозначили цифры 10, 11, 12 и 13, подобно тому, как это делается в 16-ичной системе счисления.) Найдите наибольшее 10000-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления, переведите его в десятичную систему, а в качестве ответа укажите 8 младших десятичных цифр.
Задачу решили:
4
всего попыток:
10
Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)2 + (k·b + 1)2 и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего.
Задачу решили:
3
всего попыток:
12
Рассмотрим метод кодирования черно-белых изображений при помощи квадрадеревьев для квадратного изображения размером 2N×2N однобитовых пикселей. Сгенерируем кодирующую последовательность из нулей и единиц по следующим правилам:
В качестве примера рассмотрим изображение размером 4×4, где цветными крестиками обозначены точки ветвления.
В принципе, изображение может быть закодировано несколькими различными битовыми последовательностями, например, "001010101001011111011010101010" или "0100101111101110". Первая из этих последовательностей содержит 30 битов, а вторая – только 16, и эта длина является минимальной. Рассмотрим теперь изображения размером 2N×2N, построенные следующим образом:
Для изображения данного типа с N=24 найдите кодирующую последовательность минимальной длины. Сколько единиц она содержит?
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n?
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Назовем пифагоровым многоугольником выпуклый многоугольник, обладающий следующими свойствами:
Обозначим через Q(n) количество различных пифагоровых многоугольников, периметр которых равен n. При этом различными будем считать многоугольники, которые нельзя преобразовать друг в друга путем параллельного переноса. Тогда Q(4)=1, Q(30) =1242, Q(60) =248282. Найдите Q(120).
Задачу решили:
10
всего попыток:
12
Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N. Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97.
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|