Чему равен максимальный периметр прямоугольного треугольника со сторонами, являющимися натуральными числами, меньший 1 миллиона?

Запишите кубы натуральных чисел подряд:

1 8 27 64 125...

Какие цифры находятся на миллионной и следующей позициях? (Введите обе цифры в том порядке, как они встречаются в записи без всяких разделителей.)

Для натурального числа, меньшего 1 миллиона, рассмотрим все записи в системах счисления от 3 до 16.

Какое максимальное число имеет во всех записях наибольшее количество цифр 2?

Вы наверное многое слышали про методы обработки текстов. Попробуем оценить "треугольность" отрывка из романа в стихах "Евгений Онегин" А.С. Пушкина:

Мой дядя самых честных правил,
Когда не в шутку занемог,
Он уважать себя заставил
И лучше выдумать не мог.
Его пример другим наука;
Но, боже мой, какая скука
С больным сидеть и день и ночь,
Не отходя ни шагу прочь!
Какое низкое коварство
Полу-живого забавлять,
Ему подушки поправлять,
Печально подносить лекарство,
Вздыхать и думать про себя:
Когда же чёрт возьмет тебя!

Треугольность стихотворения определим так:
сначала для каждого слова посчитаем сумму номеров букв из которого оно состоит в алфавите. Например, для слова 'дядя' это будет 5 + 33 + 5 + 33 = 76. Тогда, если полученная сумма - треугольна, то есть представима в виде m * (m+1) / 2, где m - натурально, то и слово треугольно. Треугольность текста - это сумма номеров строк умноженных на количество треугольных слов в них.

Вычислите треугольность приведенного в задаче отрывка.

Рассмотрим для каждого натурального n < 10 все числа, в записи которых встречаются все цифры от 1 до n включительно, при этом каждая цифра встречается ровно 1 раз. Например, для n = 4, таким числом является 3124.

Найти среди всех таких чисел максимальное, представимое в виде m²+1, где m - натуральное.

Рассмотрим в качестве примера число 8136497052, оно десятизначное и состоит из всех цифр, при этом каждая цифра представлена один раз. Обозначим d_k - цифру, которая находится на k-ом месте.
Будем читать число с конца тройками, замечая одно интересное свойство:

d₈d₉d₁₀=052 делится на 2;
d₇d₈d₉=705 делится на 3;
d₆d₇d₈=970 делится на 5;
d₅d₆d₇=497 делится на 7;
d₄d₅d₆=649 делится на 11;
d₃d₄d₅=364 делится на 13;
d₂d₃d₄=136 делится на 17.

Найдите сумму всех десятизначных чисел, обладающих описанным свойством и состоящих из разных цифр от 0 до 9.

Гексагональные числа, это числа получаемые по формуле n*(2n - 1). Вот первые 12 таких чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276
Можно видеть что, H₅ + H₁₁ = H₁₂. Но вот их разность H₁₁ - H₅ = 231 - 45 = 186 - не гексагональное.
Надо найти такую пару H_j и H_k гексагональных чисел, что модуль их разности |H_j - H_k| и сумма H_j + H_k тоже гексагональны. Такая пара не единственна, найдите минимальное значение |H_j - H_k| таких пар.

Треугольные числа вычисляются по формуле n*(n+1)/2, вот первые из них: 1, 3, 6, 10, 15, ..., гексагональные - по формуле n*(2n-1): 1, 6, 15, 28, 45, ... и гептагональные - n*(5n-3)/2: 1, 7, 18, 34, 55, ...
Оказывается есть некоторые числа являющиеся одновременно и треугольными, и гексагональными, и гептагональными, например, число 121771.
Найдите следующее такое число.

Найдите сумму всех натуральных чисел N<10⁹, которые делятся на 11 и N/11 равно сумме квадратов цифр N.

Найдите сумму первых 6 натуральных чисел, у которых последняя цифра – 6, и каждое из них увеличивается в 4 раза от перестановки последней цифры в начало.