Найти количество простых чисел меньших десяти миллионов и не содержащих в записи цифру 0, которые остаются простыми при любой перестановке цифр.

Каждому слову в формулировке этой задачи ставится в соответствие специальное число по следующему правилу - сумма позиций букв входящих в слово умноженная на место слова в тексте. Например, в слове "по" первая буква находится на семнадцатом месте, а вторая находится на шестнадцатом месте, итого в сумме тридцать три, а само слово в тексте находится на двенадцатом месте, в результате произведение получается равным триста девяносто шести.

Чему равна сумма всех специальных чисел для этой формулировки (знаки препинания не учитываются)?  

Для какого натурального числа p<100000 существует максимальное количество прямоугольных треугольников со сторонами являющимися целыми числами и периметром равным p?

Найти сумму всех натуральных чисел больших 1 и меньших 10000, которые при умножении на другое целое число, дают произведения в записи которых имеются все цифры от 1 до 9 по одному разу.

Найти сумму всех простых чисел больших 10 и меньших одного миллиона, которые остаются простыми числами после удаления любой цифры в десятичной записи.

Вы наверное многое слышали про методы обработки текстов. Попробуем оценить "треугольность" отрывка из романа в стихах "Евгений Онегин" А.С. Пушкина:

Мой дядя самых честных правил,
Когда не в шутку занемог,
Он уважать себя заставил
И лучше выдумать не мог.
Его пример другим наука;
Но, боже мой, какая скука
С больным сидеть и день и ночь,
Не отходя ни шагу прочь!
Какое низкое коварство
Полу-живого забавлять,
Ему подушки поправлять,
Печально подносить лекарство,
Вздыхать и думать про себя:
Когда же чёрт возьмет тебя!

Треугольность стихотворения определим так:
сначала для каждого слова посчитаем сумму номеров букв из которого оно состоит в алфавите. Например, для слова 'дядя' это будет 5 + 33 + 5 + 33 = 76. Тогда, если полученная сумма - треугольна, то есть представима в виде m * (m+1) / 2, где m - натурально, то и слово треугольно. Треугольность текста - это сумма номеров строк умноженных на количество треугольных слов в них.

Вычислите треугольность приведенного в задаче отрывка.

Рассмотрим для каждого натурального n < 10 все числа, в записи которых встречаются все цифры от 1 до n включительно, при этом каждая цифра встречается ровно 1 раз. Например, для n = 4, таким числом является 3124.

Найти среди всех таких чисел максимальное, представимое в виде m²+1, где m - натуральное.

Рассмотрим в качестве примера число 8136497052, оно десятизначное и состоит из всех цифр, при этом каждая цифра представлена один раз. Обозначим d_k - цифру, которая находится на k-ом месте.
Будем читать число с конца тройками, замечая одно интересное свойство:

d₈d₉d₁₀=052 делится на 2;
d₇d₈d₉=705 делится на 3;
d₆d₇d₈=970 делится на 5;
d₅d₆d₇=497 делится на 7;
d₄d₅d₆=649 делится на 11;
d₃d₄d₅=364 делится на 13;
d₂d₃d₄=136 делится на 17.

Найдите сумму всех десятизначных чисел, обладающих описанным свойством и состоящих из разных цифр от 0 до 9.

Гексагональные числа, это числа получаемые по формуле n*(2n - 1). Вот первые 12 таких чисел:
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276
Можно видеть что, H₅ + H₁₁ = H₁₂. Но вот их разность H₁₁ - H₅ = 231 - 45 = 186 - не гексагональное.
Надо найти такую пару H_j и H_k гексагональных чисел, что модуль их разности |H_j - H_k| и сумма H_j + H_k тоже гексагональны. Такая пара не единственна, найдите минимальное значение |H_j - H_k| таких пар.

Гипотеза Гольдбаха, которая до сих пор является нерешённой проблемой, заключается в следующем: 

Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Оказывается, что для небольших чётных чисел такое представление не только существует, но их существует достаточно много. Например, число 20130 можно представить в виде суммы двух различных простых чисел 512 способами.

Требуется найти наименьшее натуральное чётное число, которое можно представить в виде суммы двух различных простых чисел ровно 1024 способами.