![]()
Лента событий:
fortpost решил задачу "Диофантово уравнение 2023" (Математика):
![]()
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
0
всего попыток:
3
Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения. В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке. Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну). Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды? Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого. ![]()
Задачу решили:
5
всего попыток:
10
Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей. Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми. Например, f(2,1)=1, f(2,2)=f(3,1)=2 и f(3,2)=16. Случай f(3,2) показан на рисунке: Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 1015.
![]()
Задачу решили:
0
всего попыток:
1
Функция Аккермана Например, Чему равен остаток от деления ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
10
Альберт выбирает натуральное число k и два случайных вещественных числа, a и b, равномерно распределенных на промежутке [0,1]. Затем он вычисляет квадратный корень из суммы (k·a + 1)2 + (k·b + 1)2 и округляет его вниз до целого. Если результат оказывается равным k, Альберт получает k очков, в противном случае он не получает ничего. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n? ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109. ![]()
Задачу решили:
6
всего попыток:
7
В сильно упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH. В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2n. Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки. На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)
В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе. Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки. 77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H. Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H? ![]()
Задачу решили:
4
всего попыток:
5
Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p2. Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа. Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 25•33 и 1800 = 23•32•52 — ахиллесовы. Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы. Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 25•32, а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 25•31•51. Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396. Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел. ![]()
Задачу решили:
7
всего попыток:
11
Как известно, последовательность Фибоначчи определяется рекуррентно: f(0)=0 , f(1)=1, и f(n)=f(n-1)+f(n-2) при n>1. Найдите Σf(pi), где pi – простые числа, и 1014< pi <1014+5*106. Остаток от деления полученной суммы на 1234567891011 будет ответом к этой задаче. ![]()
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|