На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

При игре в дартс участники метают три коротких дротика в мишень, разделенную на двадцать равных секторов, которые пронумерованы числами от 1 до 20.

Количество заработанных очков зависит от того, куда дротик воткнулся. Попадание дротика за пределами внешнего красно-зеленого кольца  не приносит очков. Попадание дротика в черный или желтый сектор внутри этого кольца приносит очки в соответствии с номером сектора. Внешнее красно-зеленое кольцо означает удвоение числа сектора, а внутреннее  - утроение. Два концентрических круга в центре мишени образуют "яблочко". Наружный зеленый круг дает 25 очков, а внутренний красный - 50. Он считается двойным (25x2=50).

Существует несколько вариантов игры. В самом распространенном из них игроки в начале игры имеют 301 или 501 очко, а затем последовательно вычитают заработанные очки. Выигрывает тот, у кого останется ровно ноль очков. Однако победа засчитывается только в том случае, если последний бросок, сводящий число очков к нулю, был "двойным", то есть попал во внешнее красно-зеленое кольцо или в красное "яблочко". В противном случае, а также когда после серии из трех бросков получается отрицательная сумма очков или единица, вся серия не засчитывается, и счет остается прежним.

Положение, при котором участник может завершить игру, называют "чекаут" (англ. checkout). Максимальный чекаут возможен при 170 очках: T20 T20 D25 (два попадания с утроением в сектор 20 и одно попадание в красное яблочко).

Есть ровно 11 способов окончить игру при шести очках:

D3   
D1  D2   
S2  D2   
D2  D1   
S4  D1   
S1  S1  D2
S1  T1  D1
S1  S3  D1
D1  D1  D1
D1  S2  D1
S2  S2  D1

Обратите внимание, что серии D1 D2 и D2 D1 считаются различными, поскольку последние броски с удвоением у них различны. Однако комбинации S1 T1 D1 и T1 S1 D1 считаются  одинаковыми. Кроме того, мы не учитываем промахи. D3 считается тем же исходом, что и 0 D3 или 0 0 D3.
Всего существует 42336 различных способов завершить игру. При оставшихся 6 очках можно завершить игру 11 способами, при 8 - 22 способами.
А при каком количестве очков можно завершить игру наибольшим числом способов?

Рассмотрим четырехзначные простые числа с повторяющимися цифрами. Ясно, что все цифры не могут быть одинаковы: 1111 делится на 11, 2222 делится на 22, и т.д. Но есть девять четырехзначных простых чисел, содержащих три единицы:
1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111
Обозначим через M(n, d) максимально возможное количество повторяющихся цифр в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра. Пусть N(n, d) - количество таких чисел, а S(n, d) - их сумма.
Тогда M(4, 1) = 3 - максимальное количество единиц в четырехзначном простом числе, всего существует N(4, 1) = 9 таких чисел, а их сумма равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что при d = 0 в четырехзначном простом числе может быть не более M(4, 0) = 2 нулей, и N(4, 0) = 13.
Таким образом, мы получим следующие результаты для четырехзначных простых чисел:

Найдите сумму всех S(n, d) для 3 ≤ n ≤ 10 и 0 ≤ d ≤ 9.

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

Замечание: Это более сложный вариант задачи 114.

Как и в задаче 114, будем рассматривать прямоугольные полоски, состоящие из n выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее m_r клеток, а черные – не менее m_b.

Обозначим через F(m_r, m_b,n) число способов, которым такая полоска может быть построена, например F(3, 2, 8)=14 (см. рисунок).

Кроме того, F(3, 2, 34)= 856506 и F(3, 2, 35)= 1309554.

Это означает, что n=35 – минимальное значение, при котором функция F(3, 2,n) превосходит миллион.

Аналогично, F(5, 3, 46) = 849735 и F(5, 3, 47)= 1172897, и 47 – первое значение n, при котором F(5, 3, n) больше миллиона.

Найдите минимальное значение n, при котором F(111, 100, n) > 1 000 000.

На плоскости нарисована пятиконечная звезда  с центром в начале координат и одной вершиной в точке с координатами (100,0). Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри звезды?

Игра проводится по следующим правилам.

Вначале в коробку кладут два шара - синий и красный. За ход предлагается вынуть наугад один из шаров. Затем вынутый шар возвращается в коробку и вдобавок в коробку кладется два шара красного цвета. Таких ходов делается n. Игра считается выигранной, если количество вынутых синих больше чем вынутых красных. Для n=3 вероятность выиграть равна 5/24. Если игра стоит 1 рубль, то максимальный целый выигрыш, который крупье может предложить, чтобы в среднем выигрывать, 4 рубля.

Найдите какой максимальный выигрыш можно предложить для аналогичной игры с 13 ходами.

Рассмотрим степенной ряд AG(x)=x * G₁+x² * G₂ + x³ * G₃ + ... , где через G_k обозначен k-ый член последовательности 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... , задаваемой рекуррентным соотношением
G_k = G_{k - 1} + G_{k - 2}, G₁ = 1 и G₂ = 4.

Мы интересуемся такими x, для которых AG(x) является натуральным. 

Ниже для первых пяти натуральных чисел приведены соответствующие значения x.

x              AG(x)
(sqrt(5) - 1)/4    1
2/5    2
(sqrt(22) - 2)/6    3
(sqrt(137) — 5)/14    4
1/2    5

Мы будем называть число AG(x) золотым самородком, если x рациональное, так как с ростом AG(x) они встречаются все более и более редко. Так, например, двадцатый золотой самородок равен 211345365.

Найдите 40-й золотой самородок.

Пусть ABC – треугольник, внутренние углы которого меньше 120 градусов, и пусть X – некоторая точка внутри треугольника, XA = p, XB = q и XC = r.
Ферма предложил Торричелли найти такое положение X, для которого сумма p + q + r обращается в минимум.
Торричелли удалось доказать, что если на сторонах треугольника ABC построить равносторонние треугольники AOB, BNC и AMC и описать вокруг них окружности, эти окружности пересекутся в общей точке T, лежащей внутри треугольника. Кроме того, он доказал, что точка T (называемая ныне точкой Торричелли-Ферма) минимизирует сумму p + q + r.

Оказывается, что когда сумма p + q + r обращается в минимум, AN = BM = CO = p + q + r, а отрезки AN, BM и CO также пересекаются в точке T.

Если для некоторого треугольника все числа a, b, c, p, q и r оказываются целыми, мы будем называть его треугольником Торричелли. Примером такого треугольника может служить треугольник со сторонами a = 399, b = 455 и c = 511.

Найдите сумму всех различных периметров треугольников Торричелли, не превышающих 300000.

В лазерной физике используют системы зеркал, которые действуют как линии задержки для проходящего лазерного луча. Луч входит в систему, многократно отражается от зеркал и, в конце концов, выходит обратно.

Мы рассмотрим такую линию задержки, имеющую форму эллипса с уравнением 4x² + y²= 100.

В верхней части эллипса сделано отверстие −0.01 ≤ x ≤ +0.01 для входа и выхода луча.

В нашей задаче луч направляется из точки с координатами (0,0;10,1) внутрь эллипса, где испытывает первое отражение в точке (1,4;-9,6),

Луч отражается по обычному закону "угол падения равен углу отражения". Иначе говоря, падающий и отраженный луч образуют с нормалью в точке падения равные углы.

На рисунке слева красной линией показана траектория луча к первым двум точкам отражения. Синим обозначена касательная к эллипсу в первой точке отражения. Наклон касательной в точке эллипса с координатами (x,y) можно найти по формуле: m = −4x/y. Нормаль перпендикулярна касательной в точке падения.

На анимированной картинке справа показаны первые 10 отражений луча.

Какой длины путь проделает луч внутри эллиптической системы задержки? Результат округлите до целого.