В игре "Города" последовательно называют города, при этом каждый следующий город должен начинаться на букву, которой заканчивается предыдущий город. Запрещено повторять название городов. Например, сначала была названа "Москва" - заканчивается на "а", следует назвать другой город, у которого в названии первая буква "а". Это может быть "Архангельск". Следующий город должен начинаться на "к" и т.д.

Дан список городов России и их двухзначные номера:

01 КЕМЕРОВО
02 АРЗАМАС
03 САМАРА
04 КИРОВ
05 ОРСК
06 КАЛУГА
07 АРХАНГЕЛЬСК
08 КОВРОВ
09 ВЛАДИВОСТОК
10 ВОРОНЕЖ
11 АЛУШТА
12 КАЛИНИН
13 НОВГОРОД
14 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
15 НИЖНЕВАРТОВСК
16 ТАМБОВ
17 МОСКВА
18 МУРОМ
19 КУРСК
20 АБАКАН
21 НОРИЛЬСК
22 СМОЛЕНСК
23 ЖУКОВ
24 ГЛАЗОВ
25 ДЕРБЕНТ

Для каждой цепочки городов можно записать последовательно их номера без пробелов, в результате получится число. Какое максимальное число можно получить для данного набора городов?

На полке размещены музыкальные диски из n коробок, 1<=n<=100. Диски из одной коробки одной тематики и пронумерованы по порядку, дисков в коробке не более 10. За 1 шаг можно переставить один диск в любое место на полке.
За какое минимальное число шагов можно гарантированно переставить диски так, чтобы в итоге все диски с одинаковой тематикой находились рядом?

Римских цифр не много, вот они:

1  - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Однако в древности единообразия в записи чисел не было. Например, для обозначения числа четыре писали то IV, то IIII (такую форму записи до сих пор иногда используют на циферблатах часов).  А над 49-ым входом в римский Колизей можно увидеть номер XXXXVIIII, а не XLIX, как принято писать сейчас. Современные правила римской записи стали преобладающими уже в новое время. Они обеспечивают "экономную" запись, минимизируя число использованных знаков.

Запишем римскими цифрами несколько простых чисел:

II, III, V, VII, XI, XIII, XVII

При этом мы использовали знак X три раза. А сколько потребуется знаков X, чтобы записать современным "экономным" способом все простые числа от II до MMMCMXCIX?

На каждой из 6 граней кубика изображена одна из цифр от 0 до 9. Так же и на другом кубе. Ставя два кубика рядом можно составить множество двузначных чисел.

Например число 64 будет составлено так:

Подобрав цифры на гранях, можно отобразить все числа которые можно получить суммой двух кубов меньшие сотни ( n = a³ + b³, n < 100, a и b - натуральные). Эти числа: 02, 09, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91. Например, с помощью наборов {5, 4, 3, 2, 1, 0} и {9, 8, 5, 4, 3, 1} могут быть выложены все необходимые числа. При этом надо учесть, что цифры 6 и 9 выглядят одинаково и могут использоваться друг за друга, хотя наборы с этими цифрами считаются различными. Тогда как один и тот же набор цифр расположенный на гранях кубика иным образом считается тем же набором.

То есть,

{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {3, 6, 4, 1, 2, 5} - одинаковые наборы;
{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {1, 2, 3, 4, 5, 9} - различные наборы.

Сколько различных пар кубиков могут быть сложены во все числа представимые суммой пары кубов?

Точки P(x₁, y₁) и Q(x₂, y₂) с целочисленными координатами вместе с точкой начала координат O(0, 0) образуют треугольник OPQ.

Для 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2 всего 12 треугольников с углом 45 градусов. Вот координаты соответствующих им точек P и Q:

(0, 1) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
(0, 1) (2, 2)
(0, 2) (1, 1)
(0, 2) (2, 0)
(0, 2) (2, 2)
(1, 0) (1, 1)
(1, 0) (2, 2)
(1, 1) (2, 0)
(1, 2) (2, 2)
(2, 0) (2, 2)
(2, 1) (2, 2)

Треугольники где изменен только порядок точек P и Q, считаются одинаковыми.

Сколько различных треугольников с углом 45 градусов, если координаты точек находятся в пределах: 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 100?

Составим последовательность чисел следующим образом:

Пусть первое число n, а каждое следующее - сумма квадратов цифр предыдущего числа в шестнадцатеричной системе отсчета. Оказывается, независимо от начального числа последовательность зациклится. Либо зациклится числом 1, либо циклом содержащим 50 (32₁₆).

Например: 5 → 19 → 52 → 1D → AA → C8 → D0 → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → A9 → → B5 → 92 → 55 → 32;

2 → 4 → 10 → 1 → 1

Для всех начальных номеров n последовательности меньших 1000000₁₆ определите содержит ли последовательность 50 (32₁₆) и в ответе укажите количество последовательностей содержащих 50 (32₁₆).

Дана таблица из чисел, надо найти минимальный путь левого верхнего угла до правого нижнего. Возможны только движения: вправо, вниз и вправо-вниз. Длина пути считается так: число в левом верхнем углу, и каждый ход к данному числу прибавляется число на которое мы переходим, если движения вправо и вниз, и удвоенное число на которое мы переходим, если движение вправо-вниз.

Пример кратчайшего пути для таблицы 4 на 4:

40,35,13,32
60,58,40,20
83,18,11,53
72,50,85,75
Длина: 40+35+13+2*20+53+75 = 256

Найдите длину минимального пути в таблице 40 на 40:

71,78,41,12,23,40,74,98,98,92,98,46,63,99,44,46,83,78,18,48,21,84,18,69,41,57,91,25,33,12,63,22,84,18,37,11,15,15,87,47
97,94,72,41,77,43,96,29,72,52,16,18,82,19,36,80,30,89,47,18,77,53,12,30,75,38,81,22,45,37,82,17,17,48,62,67,73,41,57,68
47,45,68,35,13,49,52,11,77,33,37,27,77,16,62,65,68,64,33,96,50,65,22,23,98,14,87,72,48,12,92,63,60,19,85,57,62,12,33,15
91,73,13,75,91,62,27,71,68,17,74,52,34,56,98,13,53,46,42,35,98,55,84,96,68,49,72,16,36,83,66,91,76,30,10,43,80,95,56,21
73,54,92,21,84,84,26,23,80,57,25,62,28,48,43,24,66,34,86,71,55,84,70,23,83,39,80,61,68,33,58,77,59,96,82,87,92,94,29,42
83,58,67,37,19,49,86,26,95,66,66,21,92,14,97,43,40,78,44,77,41,71,30,55,43,32,27,54,55,81,18,64,20,15,10,56,39,17,35,87
90,54,51,34,31,52,32,50,12,13,96,23,57,89,49,88,89,57,67,86,10,62,82,48,87,18,44,53,40,41,48,25,61,43,34,84,78,40,54,71
14,40,51,31,54,50,97,55,79,31,39,41,81,49,98,83,56,91,62,22,60,87,12,91,27,78,68,90,30,63,91,18,16,87,76,84,65,84,54,20
30,12,35,83,93,97,13,11,49,29,42,17,86,56,74,28,40,73,19,65,10,34,12,58,16,64,45,22,39,61,95,24,78,81,95,54,39,36,90,70
59,96,95,97,65,71,11,53,12,60,14,38,11,28,76,44,14,38,49,87,28,41,74,29,62,83,40,47,23,10,79,17,21,96,52,29,65,36,44,75
57,83,50,79,94,43,49,78,64,15,59,34,39,95,80,25,61,97,36,45,38,71,41,78,39,30,24,60,80,36,15,86,40,32,97,78,81,40,92,63
94,69,26,48,99,95,41,99,73,17,64,72,53,29,20,13,34,95,16,38,91,25,19,79,98,32,36,45,43,79,30,81,54,65,45,35,96,28,13,83
21,54,37,78,82,49,45,11,55,11,13,24,12,93,29,46,12,54,66,96,16,96,29,48,77,84,58,73,31,54,74,86,82,52,19,75,51,69,42,67
70,70,15,91,25,43,52,86,71,30,65,25,28,99,24,90,20,84,67,39,59,38,12,83,50,19,47,45,74,32,35,37,66,23,94,77,38,23,37,36
66,30,63,77,56,19,35,38,79,58,58,76,89,64,10,92,15,35,30,57,33,16,53,73,41,43,58,21,31,79,20,17,83,53,90,92,46,33,56,22
85,10,75,47,98,42,15,97,92,60,13,91,30,15,49,86,38,18,62,88,62,87,70,94,63,61,53,86,38,73,38,19,41,91,56,18,75,88,40,66
32,48,53,87,31,78,34,95,65,10,89,80,71,29,99,40,20,96,98,85,96,14,58,42,59,34,58,78,40,83,12,26,35,69,45,21,56,74,53,21
87,13,61,61,15,73,84,20,80,43,43,99,55,31,52,83,50,78,24,48,96,57,37,81,48,11,39,64,64,22,96,78,55,77,21,59,70,40,64,23
13,66,96,85,61,95,64,13,34,88,70,55,64,55,23,98,70,49,39,43,38,21,18,76,52,63,66,31,19,78,43,40,55,62,84,36,57,85,96,63
29,99,59,85,59,88,43,81,75,41,51,55,56,56,22,54,24,51,83,63,29,27,88,16,83,94,94,21,61,28,87,63,11,85,82,30,35,13,13,22
39,12,43,73,90,14,44,99,40,16,23,27,99,76,43,41,75,29,81,22,64,76,49,32,68,52,78,14,97,51,10,14,60,96,86,68,30,15,65,60
88,19,54,41,63,62,95,77,99,40,95,84,76,40,19,57,75,78,80,70,63,61,99,62,19,64,32,66,10,39,77,62,70,98,73,36,11,86,68,72
95,46,13,65,76,86,55,68,75,51,10,50,94,82,12,26,53,63,92,38,78,96,69,29,87,84,45,91,41,45,49,12,90,33,21,79,61,69,76,64
64,91,93,59,45,18,58,34,17,11,29,67,85,53,75,89,20,78,94,68,32,42,19,18,47,79,77,29,94,73,37,45,79,63,10,53,97,63,70,57
17,31,91,79,83,54,55,69,94,16,56,48,82,59,57,12,84,16,99,15,45,24,59,53,91,67,52,10,98,30,84,38,51,49,10,44,45,99,21,96
51,81,69,44,91,38,88,72,99,62,50,90,80,12,11,56,11,54,10,76,91,78,83,23,75,35,35,94,85,36,61,84,57,18,64,90,75,97,88,44
92,21,57,44,19,30,91,94,73,89,90,51,51,33,77,55,47,77,28,19,64,22,37,79,62,80,41,82,46,89,36,52,72,52,43,24,14,35,40,32
10,16,17,90,24,40,70,72,22,42,60,83,18,85,44,54,43,51,96,41,95,36,26,12,35,27,34,33,67,26,45,91,90,30,49,80,15,34,84,25
16,16,61,98,85,30,47,15,62,46,61,82,51,16,63,58,91,25,41,84,38,47,42,82,68,80,49,78,32,56,18,88,32,70,36,36,61,61,63,81
67,81,15,73,80,53,73,93,73,18,84,67,71,10,78,82,35,20,41,46,23,86,35,56,49,24,20,93,40,81,96,19,89,78,30,94,57,38,29,79
45,12,77,84,13,59,45,73,93,88,71,70,70,94,55,80,81,76,38,11,47,84,62,41,64,77,77,57,35,14,66,21,52,71,88,95,93,25,68,90
94,51,62,47,46,81,67,69,81,21,98,35,49,65,79,88,20,29,77,25,62,23,71,17,70,23,97,36,50,26,47,97,40,40,51,22,87,60,92,98
92,95,47,64,18,35,88,57,54,41,16,91,69,47,57,29,66,52,27,26,85,76,58,86,82,53,12,13,55,40,35,85,33,64,38,20,91,81,15,62
28,90,72,39,60,96,39,34,98,89,62,67,32,60,22,76,65,61,20,96,80,45,21,13,76,62,31,88,21,71,43,65,47,92,30,84,63,29,44,82
10,63,97,11,73,65,44,48,27,26,66,87,95,98,49,35,51,77,69,96,17,80,11,56,48,38,19,59,25,91,33,83,92,23,14,99,85,12,14,84
39,48,84,33,96,74,41,32,15,97,24,99,27,71,26,48,20,41,36,49,92,82,59,19,15,60,30,33,68,40,86,18,60,48,97,93,16,86,23,84
48,90,29,93,39,84,15,87,47,68,43,67,17,53,61,99,52,51,96,46,47,50,36,82,31,50,52,97,63,75,69,18,98,66,74,33,46,37,78,83
27,33,58,13,19,27,43,75,54,49,78,39,76,41,97,12,12,72,18,26,91,17,44,39,27,13,60,32,87,66,24,83,99,51,51,56,68,34,86,28
15,89,29,36,10,30,28,66,53,81,61,79,71,87,55,24,57,84,98,40,99,81,93,36,19,66,63,88,66,20,57,81,50,65,91,16,27,70,50,89
88,17,91,50,43,60,52,52,35,35,28,27,79,76,23,90,55,44,32,93,21,30,91,56,18,11,98,26,72,31,23,95,54,31,97,33,19,30,38,51

Наименьшее число, представимое в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени простых чисел - это 28:

28 = 2² + 2³ + 2⁴

С числом 17367 это можно проделать тремя способами:

17367 = 23² + 13³ + 11⁴ = 113² + 13³ + 7⁴ = 131² + 5³ + 3⁴

17367 - это наименьшее число, которое можно представить в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени простых чисел тремя способами.

Определите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени простых чисел пятью способами.

Будем называть k-разложимым натуральное число N, которое можно представить в виде суммы и произведения одного и того же набора из k чисел {a₁, a₂, ... , a_k} :

N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k.

Например, число 6 является 3-разложимым:

6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Для каждого k найдем наименьшее k-разложимое число, и выпишем такие числа для k = 2, 3, 4, 5 и 6:

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Мы видим, что для 2≤k≤6 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 12.
Для 2≤k≤30 наибольшее из наименьших k-разложимых чисел равно 48.

Найти наибольшее из наименьших k-разложимых чисел для 2≤k≤12000.