В десятизначном числе N за один ход можно удалить произвольное количество цифр так, что оставшиеся цифры последовательно представляют запись простого числа (пробелы между цифрами автоматически удаляются). Найти такое минимальное N, из которого такими ходами можно получить наибольшее количество различных простых чисел.

Очень простое число это такое простое число, любые несколько первых цифр которого также являются простыми числами. Например, простое число 2333 является очень простым, т.к. числа 2, 23 и 233 также являются простыми. Найдите максимальное очень простое число.

Найти сумму таких натуральных чисел n, для которых n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13 и n²+21 являются последовательными простыми числами, и n < 150 000 000.

Определим для натурального числа n функцию S(n) равной сумме цифр в его десятичной записи. Найдите наименьшее M, такое, что среди простых чисел меньших 1000000, количество чисел для которых S(n)=M максимально.

Посмотрите на таблицу. Легко проверить, что максимальная сумма чисел, стоящих подряд вдоль одного из диагональных направлений, равна 16 (= 8 + 7 + 1).

Давайте теперь рассмотрим ту же задачу для таблицы большего размера. Для этого будем использовать генератор случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
Для 1≤k≤55, s_k = [100003 - 200003·k + 300007·k³)] (mod 1000000) - 500000.
Для 56≤k≤4000000, s_k = [s_k-24 +s_k-55 + 1000000] (mod 1000000) - 500000.
(Здесь x(mod y) означает остаток от деления x на y).
Например, s₁₀ = -393027 и s₁₀₀ = 86613.

Заполним при помощи первых четырех миллионов чисел этого генератора таблицу 2000×2000. Заполнять таблицу будем последовательно, строка за строкой.
Найдите максимальную сумму чисел, стоящих подряд вдоль какого-либо из диагональных направлений в получившейся таблице.

Володя написал программу, которая складывает в столбик два числа. К сожалению, он не разобрался, как правильно переносить единицу из одного разряда в следующий. Поэтому программа стала выполняться следующим образом. Сначала она складывает последние цифры обоих чисел и записывает результат, как в случае, если он однозначный, так и в случае, если он двузначный. Затем программа складывает предпоследние цифры обоих чисел и результат сложения приписывает слева к результату предыдущего сложения. Далее процесс повторяется для всех разрядов. Если в одном числе цифр меньше, чем в другом, то программа размещает нули в соответствующих разрядах более короткого числа.
Федя хочет доказать Володе, что его способ сложения не обладает свойством ассоциативности. В частности, Федя утверждает, что существуют три числа, для которых важен порядок, в котором их складывают (при этом разрешается складывать числа в любом порядке, например можно сначала сложить первое число и последнее, а затем прибавить к ним среднее). Федя привел даже пример трех таких чисел.
Сколько существует троек чисел a, b, c, таких, что a < b < c < 1000000 и a+(b+c) < (a+b)+c.

Попробуем записать число 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел. Например, используя числа {2, 5, 6, 10, 15, 30}:

Используя числа до 45 включительно, это можно сделать четырьмя способами. Вот соответствующие наборы чисел:
{2, 5, 6, 10, 15, 30}
{2, 5, 7, 10, 14, 15, 21, 30}
{2, 4, 12, 14, 15, 20, 28, 42}
{2, 6, 7, 9, 10, 12, 20, 28, 35, 36, 45}
Сколькими способами можно записать 1/3 в виде суммы обратных квадратов различных натуральных чисел, не превышающих 80?

Посмотрим на десятичную запись первых неотрицательных целых чисел:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Выберем одну из цифр, например единицу (d=1), а затем начнем выписывать наши числа, подсчитывая количество использованных единиц. Обозначим полученное количество через  f(n,1) и запишем его против каждого числа n. Вот что получится:

n    f(n,1)
0    0
1    1
2    1
3    1
4    1
5    1
6    1
7    1
8    1
9    1
10    2
11    4
12    5

Заметьте, что f(n,1) не равно 3 ни при каких n.
Уравнение f(n,1)=n имеет решения n=0 и n=1, а следующее решение - только n=199981.

Аналогично, подсчитаем, сколько раз мы использовали цифру d, и обозначим полученное количество через f(n,d).
Заметим, что для каждой цифры d, кроме нуля, n=0 является первым решением уравнения f(n,d)=n.
Обозначим через s(d) сумму всех решений уравнения f(n,d)=n. Например, s(1)=22786974071.

Найдите ∑ s(d) при 0 ≤ d ≤ 9.

Замечание: Если для какого-то n f(n,d)=n для нескольких значений d, n необходимо учитывать каждый раз для каждой цифры d.

Рассмотрим диофантово уравнение ¹/_a+¹/_b= ^p/_10ⁿ, где a, b, p, n - положительные целые числа, и a ≤ b. При n=1 это уравнение имеет 20 приведенных ниже решений:

А сколько решений будет иметь это уравнение при n=16?

Блоха запрыгнула на круглый стол для игры в "Что? Где? Когда?" незадолго до начала очередной игры. На секторах стола уже были разложены конверты с вопросами. Блоха решила заранее прочитать все вопросы, чтобы у нее было больше времени подумать над ответами.

Круглый игровой стол поделен на 10⁹ секторов, занумерованных по часовой стрелке числами от 1 до 10⁹. Блоха запрыгнула на первый сектор. С него она может либо перебежать на соседний, либо перепрыгнуть через 2 сектора (например, если стол делится на 12 секторов, то с сектора номер 1 блоха может за одно действие попасть на сектора с номерами 2, 4, 10 и 12). Блоха хочет побывать на каждом секторе ровно 1 раз и вернуться обратно на первый сектор, откуда она спрыгнет и убежит думать над вопросами. Определите, сколькими способами она сможет совершить свое путешествие. Выведите в качестве ответа количество способов по модулю 10⁹+9.