Пусть I_r – множество точек с целыми координатами x и y, лежащих внутри круга радиуса r, т.е. x² + y² < r².

При r=2 I₂ содержит 9 точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1).

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются точки, принадлежащие I₂. Среди них найдется ровно 8 треугольников, содержащих начало координат в своей внутренней области. Два из них показаны на рисунке, а остальные можно получить поворотами.

При r=3 существует ровно 360 треугольников с вершинами, принадлежащими I₃, содержащих начало координат в своей внутренней области, а для r=5 таких треугольников будет 10600.

Сколько найдется треугольников, все вершины которых принадлежат I₅₀₀, а начало координат лежит в их внутренней области?

Вова и Дима играют в числовую угадайку: Вова задумывает число, а Дима пытается его угадать. После каждой попытки Вова сообщает Диме количество угаданных цифр. Например, Вова задумал число 1234, а Дима предположил, что число равно 2036. Вова сообщает ему, что угадана одна цифра. Действительно, цифра 3 стоит в обоих числах на одном и том же месте. О том, что есть еще цифра 2, которая есть в обоих числах, но на разных позициях, Вова Диме не говорит.
Вчера Вова задумал 5-значное число, и вот как проходила игра:
1) Дима: 90342;  Вова: 2 цифры угаданы
2) Дима: 70794;  Вова: 0 цифр угадано
3) Дима: 39458;  Вова: 2 цифры угаданы
4) Дима: 34109;  Вова: 1 цифра угадана
5) Дима: 51545;  Вова: 2 цифры угаданы
Получив эту информацию, Дима сообразил, что для задуманного числа осталось всего четыре возможности: 31348, 31442, 39345, 39542. Тогда Дима сделал еще один ход:
6) Дима: 12531;  Вова: 1 цифра угадана
и определил загаданное число:  39542, поскольку других вариантов не осталось.
А сегодня игру решили усложнить. Теперь Вова загадал 16-разрядное число. Вот протокол игры:

Дима долго думал и нашел все оставшиеся варианты. Найдите их и вы, а в качестве ответа укажите их сумму.

В некотором городе построили телефонную сеть на миллион абонентов с шестизначными телефонными номерами. Данные о телефонных звонках фиксировали в базе данных. Перед вами несколько первых записей из нее:

Номера абонентов S_2n-1 и S_2n для данной таблицы мы получили с помощью генератора псевдослучайных чисел Фибоначчи с запаздыванием:
При 1 ≤k≤55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (mod 1000000)
При 56 ≤k, S_k = [S_k-24 + S_k-55] (mod 1000000)
(p(mod q) означает остаток от деления p на q)
При необходимости полученные числа дополняли до шести знаков нулями слева.
Мы будем считать, что если X позвонил Y, или наоборот, Y позвонил X, X и Y становятся друзьями. Если X является другом Y, а Y другом Z, то мы также считаем X и Z друзьями, и так далее для сколь угодно длинных цепочек.
Телефонный номер мэра города – 100000. После очередного звонка количество друзей мэра превысило половину населения города. Сколько в этот момент у него оказалось друзей (включая его самого)?

Полупростым называется натуральное число, представимое в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных), например, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 22 = 2 × 11.
Существует ровно десять полупростых чисел, не превышающих 30: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26. Их сумма равна 152.
Найдите сумму полупростых чисел, не превышающих 10⁸.

Операция возведения в сверхстепень, или тетрация, обозначается как a↑↑b или ^ba, и определяется для натуральных a и b следующим образом:
a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a (a↑↑k).
Так, 3↑↑2 = 3³ = 27, отсюда 3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987, а 3↑↑4 примерно равно 10^{3638334640024,1}.
Найдите 8 последних цифр числа 2011 ↑↑ (2011 ↑↑ 2011).

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

В одном университете очень строго следят за посещаемостью и дисциплиной. Если в контрольный  период студент хотя бы дважды опаздывает или в течение любых трех дней подряд хотя бы дважды прогуливает, то его лишают стипендии.
Если контрольный период продолжается n дней, то его можно зашифровать строкой из n символов, используя букву L для опозданий, A для прогулов и O для дней, когда студент приходил на занятия вовремя.
Из 81 возможной строки для 4-дневного зачетного периода стипендиальным требованиям удовлетворяют 24 строки:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAL OOLO OOLA OAOO OAOL OALO OLOO OLOA OLAO AOOO AOOA AOOL AOLO AOLA ALOO ALOA LOOO LOOA LOAO LAOO

А сколько строк удовлетворяет стипендиальным требованиям для 30-дневного зачетного периода?

На Олимпиаде в Индии, которую проводил Маугли, в забегах приняли участие все животные - и жалкие дождевые черви, и вожак стаи старый Акелла, и даже злобный Шер-Хан. Их оказалось очень много - ровно 1 миллиард. Все животные получили последовательные номера от единицы и до одного миллиарда.

После первого забега победили участники у которых были нечетные номера, их заново пронумеровали - 1-й сохранил свой номер, участник с номером 3-й номер стал 2-м, с номером 5 - стал 3-м и так далее, проигрывшие выбыли из соревнования.

Во втором забеге победили все участники, которые имели четные номера, их также заново пронумеровали: 2-й стал 1-м, 4-й - 2-м, 6-й - 3-м и так далее.

Как потом выяснилось, и далее в нечетных забегах побеждали участники с нечетными номерами, а в четных - с четными, и каждый раз после очередного забега участников перенумеровывали по той же схеме.

В конце концов победила хитрая Багира. Выясните какой у нее был номер в начале сревнований?

Назовем натуральное число дважды квадратным, если оно является квадратом натурального числа и из его цифр можно составить большее число, также являющееся квадратом натурального числа. Например, 256 = 16² - дважды квадратное, поскольку 625=25². Найдите количество дважды квадратных чисел, меньших 10¹⁵.

Построим треугольник из натуральных чисел так, как показано на рисунке, и отметим в нем простые числа:

1          
2   3         
4   5   6        
7   8   9  10       
11 12 13 14 15      
16 17 18 19 20 21     
22 23 24 25 26 27 28    
29 30 31 32 33 34 35 36   
37 38 39 40 41 42 43 44 45  
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
…

Каждое число в этом треугольнике может иметь до восьми соседей.
Будем называть тройку простых чисел простым триплетом, если два из них являются соседями третьего. Например, числа 2 и 3 из второй строки треугольника являются элементами одного простого триплета.
В восьмой строке два простых числа являются элементами простых триплетов, а именно 29 и 31.
В девятой строке только число 37 является элементом простого триплета.
Обозначим через S(n) сумму простых чисел в n-ой строке, являющихся элементами простых триплетов.
Так, S(8)=60, S(9)=37, а S(10000)=950007619.

Найдите max(S(n)) при 3000000<=n<3000010