Строку натуральных чисел (1, 3, 5, 2, 4) попробуем упорядочить при помощи специальных перестановок: разделим строку на 2 части (1, 3, 5) и (2, 4), первую строку запишем в обратном порядке и присоединим ко второй, в результате получим (5, 3, 1, 2, 4). Далее действуем также - разбиваем строку на 2 любые части (любая часть может быть пустой), первую часть записываем в обратном порядке и просоединяем ко второй. При помощи перестановок:

(5, 3, 1, 2, 4) = (5, 3, 1, 2, 4) + () -> (4, 2, 1, 3, 5)

(4, 2, 1, 3, 5) = (4, 2, 1, 3) + (5) -> (3, 1, 2, 4, 5)

(3, 1, 2, 4, 5) = (3, 1, 2) + (4, 5) -> (2, 1, 3, 4, 5)

(2, 1, 3, 4, 5) = (2, 1) + (3, 4, 5) -> (1, 2, 3, 4, 5)

За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку чисел от 1 до 100?  

Будем изготавливать из проволоки прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Для этого нам потребуется кусок проволоки длиной не менее 12 см, а из двенадцатисантиметрового куска мы сможем согнуть такой треугольник ровно одним способом. Существует бесконечно много чисел, которые могли бы быть периметром прямоугольного треугольника, например:
12 см: (3,4,5)
24 см: (6,8,10)
30 см: (5,12,13)
36 см: (9,12,15)
40 см: (8,15,17)
48 см: (12,16,20)

С другой стороны, если взять проволоку длиной 20, прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами из нее не согнешь, а из проволоки длиной 120 см можно сделать три разных треугольника:

120 см: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)
Какова наименьшая длина проволоки, позволяющая сложить из нее ровно 99 прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами?

Сколько нулей в записи числа 2009!?

Число 32 можно представить в виде суммы нескольких двузначных чисел ровно девятью способами:

10 + 22
11 + 21
12 + 20
13 + 19
14 + 18
15 + 17
16 + 16
10 + 10 + 12
10 + 11 + 11

А сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы двузначных слагаемых?

Найти количество всех делителей числа 2²⁰⁰⁹, в десятичной записи которых отсутствует цифра ноль.

Попытаемся разложить число 5 в сумму простых:

5 = 5

5 = 2 + 3

5 = 3 + 2

Назовем количеством композиций числа n из простых чисел - количество всех упорядоченных последовательностей простых чисел, в сумме составляющих n. Количество композиций для n = 5: 3, в примере последние две композиции различны.

Назовем количеством разбиений числа n на простые - количество всех неупорядоченных множеств из простых чисел в сумме дающих n. Количество разбиений для n = 5: 2, в примере последние два разбиения считаются одинаковыми.

Найдите минимальное n для которого отношение числа композиций к числу разбиений больше одного миллиарда. В ответе запишите разность числа композиций и разбиений для этого n.

Для каждого натурального n можно найти число раскладываний камней на кучки. Например, для n=5 количество различных раскладываний 7:

ООООО

ОООО О

ООО ОО

ООО О О

ОО ОО О

ОО О О О

О О О О О

Найдите минимальное количество камней, для которого сумма цифр количества различных раскладываний больше 1000.

Найти минимальное 24-значное число a₁a₂a₃...a₂₄, которое удовлетворяет следующим условиям:

a₁ делится на 1;

a₁a₂ делится на 2;

a₁a₂a₃ делится на 3;

...

a₁a₂a₃...a₂₄ делится на 24.

Одна из систем защиты банковских терминалов устроена следующим образом:

Пользователю сообщается пин-код состоящий из некоторого количества цифр, каждый раз при входе пользователя просят ввести в терминал несколько конкретных символов. Например, для пин-кода 54321 могут попросить ввести 1-й, 3-й и 5-й символы (номера символов всегда возрастают, то есть нужную часть пин-кода можно получить «выкидыванием» оставшихся символов). В этом случае пользователю для авторизации надо ввести '531'. Таким образом просто подсмотрев то, что ввел пользователь злоумышленник не сможет получить доступа. Вам удалось проследить приличное количество авторизаций одного пользователя, хотя Вы и не знаете какие цифры просили вводить. Найдите подходящий пин-код минимальной длины.

Вот лог авторизаций:

'219', '319', '315', '387', '365', '417', '397', '165', '319', '420', '489', '469', '019', '286', '238', '495', '038', '316', '095', '415', '435', '431', '426', '423', '206', '409', '215', '869', '295', '416', '089', '015', '219', '289', '285', '269', '867', '495', '695', '067', '157', '386', '157', '019', '897', '189', '407', '189', '089', '426'

Необходимо разложить 8290 кафельных плиток размера 1x1 на пол размером 68x122, так чтобы в каждой строке и в каждом столбце было четное количество плиток, при этом на одно место можно положить не более одной плитки. Сколько существует способов такой укладки?