Всем известно, что уравнение x²=-1 не имеет решений для вещественных x.
Однако, перейдя в область комплексных чисел, мы найдем два корня: x=i и x=-i.
Уравнение (x-3)²=-4 имеет два решения: x=3+2i и x=3-2i. Их называют комплексно-сопряженными.
Гауссовыми целыми называют комплексные числа a+bi, у которых a и b целые. Обычные целые числа тоже, конечно, являются гауссовыми целыми с b=0. Чтобы отличить их от гауссовых целых с b≠0, мы будем называть их "рациональными целыми". Гауссово целое будем называть делителем рационального целого n, если частное также является гауссовым целым.
Например, если мы делим 5 на 1+2i, получим

Поскольку 1-2i – гауссово целое, число 1+2i является делителем 5.

С другой стороны, 1+i не является делителем 5, поскольку .

Заметим, что если гауссово целое (a+bi) является делителем рационального целого n, то и комплексно-сопряженное (a-bi) также будет делителем n.
Таким образом, число 5 имеет ровно 6 делителей с положительной вещественной частью: {1, 1 + 2i, 1-2i, 2 + i, 2-i, 5}.
В таблице приведены все делители с положительной вещественной частью первых пяти положительных рациональных целых.

На рисунке изображена треугольная пирамида, составленная из шариков. Каждый шарик стоит на трех других шариках, расположенных в нижележащем слое.

Давайте теперь подсчитаем количество путей, ведущих из вершины к каждому из шаров.

Наш путь начинается с самого верхнего шара. На каждом шаге мы переходим к одному из трех шаров, на которых стоит текущий шар.

Таким образом, количество путей, ведущих к данному шарику, равно сумме количеств путей, ведущих к шарикам, расположенным непосредственно над ним (в зависимости от положения их может быть до трех).

То, что мы получили, называют пирамидой Паскаля, а числа на каждом уровне являются коэффициентами в триномиальном разложении выражения (x + y + z)ⁿ.

Найдите, сколько коэффициентов в разложении (x + y + z)¹²³⁴⁵⁶, кратных 4·10¹³.

Фигуру, составленную из трех квадратов, имеющих общую сторону, называют тримино. Тримино бывают двух видов: угловое и прямое:

С учетом различных ориентаций можно насчитать шесть видов тримино:

Легко доказать, что при помощи тримино можно покрыть любой прямоугольник m x n, если m x n кратно трем. Например, полоску 2 х 9 можно покрыть 41 способом:

При этом симметричные покрытия мы считали различными.

Сколько существует подобного рода покрытий для прямоугольника 8 х 15?

В шестнадцатеричной системе счисления числа представляют с помощью 16 цифр:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Шестнадцатеричная запись AF соответствует десятичному числу 10x16+15=175.
В трехзначных шестнадцатеричных числах AA0 и A0A цифра 0 использована 1 раз, а цифра A - 2 раза. Как и в десятичных числах, ноль слева не пишется.
Сколько найдется шестнадцатеричных чисел, в записи которых не более 16 цифр, цифра 0 использована хотя бы один раз, а цифра A использована более 1 раза?

Ответ представьте в шестнадцатеричной системе счисления.

Два отрезка могут не иметь общих точек, могут иметь одну общую точку или бесконечно много общих точек.

Будем говорить, что два отрезка имеют истинную точку пересечения, если они имеют единственную общую точку, и эта точка не является концом ни одного из указанных отрезков.

Положение отрезка на плоскости однозначно определяется координатами его концов. Рассмотрим  три отрезка:

• отрезок L₁ с концами (27, 44) и (12, 32)
• отрезок L₂ с концами (46, 53) и (17, 62)
• отрезок L₃ с концами (46, 70) и (22, 40)

Легко проверить, что отрезки L₂ и L₃ имеют истинную точку пересечения. Один из концов отрезка L₃, а именно точка (22, 40), лежит на отрезке L₁, и поэтому точка пересечения L₁ и L₃ не считается истинной. Отрезки L₁ и L₂ не имеют общих точек. Таким образом, для трех выбранных отрезков мы найдем только одну истинную точку пересечения.

Будем теперь последовательно строить отрезки и подсчитывать их истинные точки пересечения. Чтобы построить n отрезков, нам нужно 4n координат их концов. Будем генерировать эти числа случайным образом с помощью алгоритма Блюма - Блюма – Шуба:

s₀ = 290797
s_n+1 = s_n × s_n (mod 50515093)
t_n = s_n (mod 200)

Чтобы построить отрезок, мы будем брать четыре последовательных числа. Например, координаты концов первого отрезка будут следующими:
(t₁, t₂) и (t₃, t₄)
Четыре первых числа, сгенерированные нашим алгоритмом, будут t₁=127, t₂=144, t₃=112, t₄=132, и концы первого отрезка будут иметь координаты (127,144) и (112,132).

Чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило одну тысячу, нужно сгенерировать ровно сто отрезков: действительно, первые 99 отрезков будут иметь 992 различных истинных точек пересечения, а первые 100 отрезков – уже 1003.
Сколько необходимо сгенерировать отрезков, чтобы количество различных истинных точек пересечения превысило миллион?

Игроку выдается 9 карт и он упорядочивает их по мастям в порядке Пики, Трефы, Бубны, Червы, а внутри масти по старшиству 2, 3,..., 10, В, Д, К, Т. Комбинация называется неубывающей, если младшая карта в следующей масти, не ниже старшей карт в предыдущей масти. Найдите количество неубывающих комбинаций из 9 карт.

Сколько существует различных расстановок 8 ферзей на шахматной доске, таких, что никакие 2 ферзя не бьют друг друга?

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. В каждой вершине входящая в нее диагональ образует два угла со сторонами четырехугольника.
 

Например, в вершине A это будут углы BAC и CAD. Измерим величину этих восьми углов в градусах. Для некоторых четырехугольников полученные восемь чисел окажутся целыми. Будем называть такие четырехугольники невыпуклыми целыми четырехугольниками. Пример невыпуклого целого четырехугольника легко получить, если расположить точки A, B и C в вершинах правильного треугольника, а точку D в его центре. Другой пример получим, задав CAB=85°, BAD=55°, ABD=15°, CBD=50°, ACB=30°, BCD=25°, ADB=110°, BDC=105°.
Подсчитайте, сколько всего существует различных невыпуклых целых четырехугольников, если подобные четырехугольники считаются одинаковыми.

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем несократимую дробь r/s (s≤d), такую, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p/q-x| < |r/s-x| => q>d.
Например, наилучшим приближением числа √13 со знаменателем, не превышающим 20, будет дробь 18/5. А наилучшим приближением того же числа, но со знаменателем, не превышающим 30, будет 101/28.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений √n со знаменателем, не большим, чем 10¹², для всех простых чисел n, не превышающих 100000.