Для числового множества A обозначим через sum(A) сумму его элементов.
Например, если множество B = {1,3,6,8,10,11}, то sum(B)= 1+3+6+8+10+11=39.

Вычислим суммы для всех 20 трехэлементных подмножеств множества B:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Некоторые из этих сумм встречаются несколько раз, а некоторые – лишь однажды.
Выпишем в порядке возрастания все уникальные суммы (встречающиеся ровно один раз):
10,12,14,18,21,25,27,29
Наибольшая разница между соседними числами в этой последовательности равна 4 (она встречается в последовательности дважды: 4=18-14 и 4=25-21). Обозначим найденную таким образом величину как D(A,m), где A – исходное множество, а m – количество элементов в подмножестве. Таким образом, D(B,3)=4.

Теперь рассмотрим множество S, состоящее из 120 элементов:
S = {1², 2², ... , 120²}.
Множество S имеет 96614908840363322603893139521372656 подмножеств, состоящих из 60 элементов. Найдите D(S,60) – наибольшую разность между последовательными уникальными суммами 60-элементных подмножеств множества S.

Для натурального числа n обозначим через σ₂(n) сумму квадратов его делителей. Например,
σ₂(6) = 1² + 2² + 3² + 6² = 50
σ₂(25) = 1² + 5² + 25² = 651
Число 50 начинается с цифры 5, а число 651 – с цифры 6.
Найдите сумму таких n из интервала 0 < n < 64 000 000, для которых σ₂(n) начинается с цифры 6.

На клетчатой доске 30 х 30 сидит 900 блох, по одной блохе в каждой клетке.
Когда звенит колокольчик, блохи одновременно прыгают.
Блоха, сидящая в углу доски, приземляется на одну из двух соседних клеток с равной вероятностью 1/3 и с такою же вероятностью 1/3 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая у края доски, приземляется на одну из трех соседних клеток с равной вероятностью 1/4 и с такою же вероятностью 1/4 возвращается на прежнее место.
Блоха, сидящая во внутренней части доски, приземляется на одну из четырех соседних клеток с равной вероятностью 1/5 и с такою же вероятностью 1/5 возвращается на прежнее место.
Найдите математическое ожидание количества незанятых блохами клеток после пятидесяти звонков. Результат умножьте на миллион и округлите до ближайшего целого. 

Пусть A и B - битовые последовательности,  составленные из нулей и единиц.
Если A состоит из k битов и совпадает с отрезком  длиной k, с которого начинается B (k левых битов), то A называют префиксом B.
Например, 00110 является префиксом последовательности 001101001, но не  является префиксом последовательностей 00111 и 100110.
Префиксным кодом длины n будем называть набор из n битовых последовательностей, ни одна из которых них не является префиксом другой.
Вот, например, префиксный код длины 6:
00, 010,011,100,101,1111

Теперь предположим, что затраты на передачу нуля составляют 1 копейку, а затраты на передачу единицы - 4 копейки. Тогда стоимость вышеприведенного кода составит 2+6+9+6+9+16=48 копеек. Это далеко не самый дешевый код. Самый дешевый код длины 6 стоит 35 копеек и может быть реализован двумя способами:
1,01,00000,001,0001,00001
0000,01,10,001,0001,11

А сколькими способами может быть реализован самый дешевый код длиной 946583626

Будем называть натуральное число A александрийским, если есть такие целые p, q, r, что
A = p·q·r и 1/A=1/p+1/q+1/r.
Примером александрийского числа является 630 (p = 5, q = -7, r = -18). Вот семь первых александрийских чисел:
6, 42, 120, 156, 420, 630, 930.
930 – наибольшее александрийское число, не превышающее 1000.
Найдите наибольшее александрийское число, не превышающее 1,5?10¹⁵.

Возьмем вещественное число x.
Наилучшим его приближением со знаменателем, не превышающим d, назовем квадратный корень из несократимой дроби r/s (s≤d), такой, что у любого рационального числа, лежащего ближе к x, чем r/s, знаменатель будет больше, чем d:
|p²/q²-x| < |r²/s²-x| => q>d.
Найдите сумму знаменателей наилучших приближений ³√n со знаменателем, не большим, чем 10¹⁰, для всех простых чисел n, не превышающих 100000.

Игрок бросает пять шестигранных костей (т.е. кубиков, грани которых пронумерованы от 1 до 6), а затем подсчитывает сумму трех наибольших выпавших значений.
Ниже приведены четыре примера, когда игрок получает 15 очков:

D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,6,3,5
D1,D2,D3,D4,D5 = 4,3,3,5,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 3,3,3,6,6
D1,D2,D3,D4,D5 = 6,6,3,3,3

Существует ровно 1111 вариантов для пяти шестигранных костей, когда три наибольших выпавших значения дают в сумме 15.

А сколько будет вариантов для 18 двенадцатигранных костей (т.е. додекаэдров, грани которых пронумерованы от 1 до 12), когда 10 наибольших выпавших значений в сумме дают полный квадрат?

Мальчику подарили развивающую игру-пазл "числовая змейка", состоящую из 40 фигурных элементов, которые можно собирать цепочкой один за другим и только в определенной последовательности. Элементы перенумерованы в соответствии с этой последовательностью числами от 1 до 40.

Каждый вечер папе приходится собирать элементы, разбросанные по полу в детской. Он подбирает их по одному случайным образом и сразу ставит на нужное место. При этом они образуют несколько готовых отрезков из нескольких идущих подряд элементов, должным образом соединенных между собой. Понятно, что сначала, до того как папа начинает выкладывать змейку, таких отрезков нет, когда он кладет первый элемент, получается один отрезок, состоящий из единственного элемента, а в конце работы остается  также один отрезок, состоящий из всех 40 элементов. По ходу дела количество готовых отрезков может увеличиваться и уменьшаться, достигая в какой-то момент максимума. Вот пример его работы:

Обозначим через M максимальное количество готовых отрезков, которое достигалось в процессе сборки. В таблице ниже приведено количество вариантов сборки, при которых наблюдаются максимальные числа отрезков M для змейки, состоящей из 10 элементов.

Как видно, наиболее вероятное значение M равно 3, и оно реализуется 1815264 различными способами, а 181526 — это первые шесть значащих цифр данного числа.
Найдите наиболее вероятное значение M для змейки из 40 элементов и количество способов сборки, при которых достигается это число. В качестве ответа укажите первые шесть значащих цифр результата.

Как известно, японцы застилают полы прямоугольными матами-татами, укладывая их без зазоров и перекрытий согласно строгим традиционным правилам. Хотя в разных частях Японии размер татами различается, везде его стороны соотносятся как 2:1. Поэтому стороны японской комнаты соотносятся как целые числа  a и b, а ее площадь можно выразить как s = a × b.
Кроме того, покрытие должно быть таким, чтобы в одной точке не сходилось более трех матов. Взгляните, например, на два покрытия квадратов 4×4:

 
Покрытие слева соответствует всем правилам, а покрытие справа недопустимо, поскольку в точке, отмеченной красным крестиком, сходятся четыре мата.
Ясно, что если площадь комнаты нечетная, ее нельзя застелить. Некоторые комнаты, даже имеющие целые стороны и четную площадь, все-таки нельзя правильным образом застелить татами. Будем называть такие комнаты недопустимыми. Обозначим через T(s) количество недопустимых комнат площади s.
Например, самая маленькая недопустимая комната имеет стороны 7 и 10. Ее площадь равна 70.  Остальные три комнаты площадью 70 (1×70, 2×35, 5×14) могут быть правильно застелены татами. Поэтому T(70)=1.
Аналогично, можно проверить, что T(1320) = 5, поскольку существует ровно пять недопустимых комнат площадью s = 1320:
20×66, 22×60, 24×55, 30×44 и 33×40.
Найдите сумму таких s, не превышающих 100 000 000, для которых T(s) ≥ 200.

Лист бумаги представляет собой прямоугольник размером M × N, где M и N – натуральные числа. Отметим на его сторонах точки с целочисленными координатами, а затем будем разрезать этот лист, руководствуясь следующими правилами:
1. Каждый разрез представляет собой отрезок, соединяющий отмеченные точки.
2. Разрезы не пересекаются, но могут иметь общие концы, соответствующие отмеченным точкам.
3. Мы будем продолжать делать разрезы, пока не останется кусков, которые можно разрезать, не нарушая правил 1 и 2.
Ясно, что по указанным правилам наш лист можно разрезать несколькими способами. Некоторые из этих способов будут симметричны или отличаться друг от друга только поворотом, но мы будем считать такие способы различными. Пусть F(M,N) – это количество способов, которыми можно разрезать прямоугольный лист размером M × N.
Например, F(1,1)=2, F(1,2)=F(2,1)=6, F(2,2)=30.
Случай M=2, N=2 проиллюстрирован рисунком:

Найдите остаток от деления F(25,35) на 10⁸.