Легко показать, что не существует равносторонних треугольников, у которых и длина сторон, и площадь выражались бы целыми числами. Однако площадь "почти равностороннего" треугольника со сторонами 5-5-6 равна целому числу 12.

Мы будем называть "почти равносторонними" такие треугольники, у которых длины любых двух сторон не отличаются больше, чем на единицу.

Найдите суммарную площадь всех почти равносторонних треугольников, для каждого из которых площадь выражается целым числом, а длины сторон - целые числа, не превышающие одного миллиарда (1 000 000 000).

Строка состоит из 33 символов A и B. При этом в каждой подстроке, длина которой больше 9, количество символов A как минимум на 3 больше количества символов B. Сколько таких строк существует?

Парой простых называются два простых числа, разность между которыми 2. Наибольшая известная сейчас пара простых это:

2003663613*2¹⁹⁵⁰⁰⁰ - 1 и 2003663613*2¹⁹⁵⁰⁰⁰ + 1. Каждое состоящее из 58711 цифр.

Найдите последние 10 цифр их произведения и укажите их в ответе.

Дан список слов в приложении. Среди них есть некоторые слова-анаграммы. То есть пары слов, отличающиеся только порядком букв. Такие как СОСНА и НАСОС. Оказывается, что при некоторой подстановке букв цифрами (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные), слова пары могут одновременно превратиться в пентагональные числа (представимы как n(3n-1)/2). Найти среди всех таких слов и соответствующих им чисел, наибольшее число.

Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

Найдите максимальное из данных чисел и в ответ запишите произведение последних десяти цифр.

7241109^6793992, 8420107^6729722, 1159716^7685152, 5075272^6950376, 8427375^6729358, 1964837^7405537, 7055898^6805155, 8244615^6738623, 2080616^7376392, 2092123^7373597, 1625603^7503680, 5782933^6892109, 9817032^6665560, 1630694^7502039, 2188528^7350843, 9080891^6697988, 3450440^7128534, 8255210^6738079, 6464169^6843165, 1662223^7492010, 9598120^6674910, 8438327^6728810, 5325623^6928768, 6907456^6814344, 8884198^6707155, 3678567^7098347, 3597399^7108838, 4363524^7019067, 6566438^6836322, 1635631^7500454, 3352358^7142216, 9165081^6694133, 3307564^7148616, 1999154^7396699, 6827610^6819378, 5900694^6883197, 9494128^6679436, 2998722^7195603, 3422414^7132398, 2823024^7224853, 7417114^6783678, 2695837^7247346, 2764239^7235103, 2361771^7312682, 4790567^6976462, 6778362^6822517, 1990470^7398919, 8174740^6742226, 4871284^6968892, 3503508^7121314, 2868913^7217018

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.
Найдите количество особых множеств А, содержащих 7 элементов, для которых S(A) ≤ 333.

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением:

F_n = F_n-1 + F_n-2, где F₁ = 1 и F₂ = 1.

317-ый член последовательности Фибоначчи равен

793591407804151926593793042126891128819610710140145037958273777397.

Три его первые цифры совпадают с тремя последними, но идут в обратном порядке. Это наименьший член последовательности, обладающий данным свойством.

Пусть F_k - наименьший член последовательности, у которого пять первых цифр совпадают с пятью последними, но идут в обратном порядке.

Найдите k.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.

Найдите количество непустых особых множеств А, все элементы которых не превышают 50.