Лента событий:
makar243 добавил комментарий к задаче "Четырёхугольники в прямоугольниках" (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
0
всего попыток:
0
Обозначим через U(n,m) количество биномиальных коэффициентов Ckm, которые не делятся ни на 2, ни на 5, где натуральные числа m,n и k удовлетворяют неравенству m≤k<n. Например, U( 1234567890, 107-10) = 24. Найдите U(1234567890987654321, 1012-10).
Задачу решили:
4
всего попыток:
6
Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью. Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N". Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P". Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.
Задачу решили:
1
всего попыток:
1
Конечные последовательности натуральных чисел {a1, a2,..., an} длины n обладают следующими свойствами:
где φ(x) – функция Эйлера.
Пусть S(N) — количество таких последовательностей с an ≤ N.
Например, при N=10 существует 5 таких последовательностей: {6}, {6, 8}, {6, 8, 9}, {6, 8, 10} и {6, 10}. Поэтому S(10) = 5.
Можно проверить, что S(80) = 1195518449 и S(10 000) mod 108 = 60687582, где x mod y означает остаток от деления x на y.
Найдите S(20 000 000) mod 108.
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел ai = xi/yi следующим образом: 1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6 Поэтому f(20) = 6. Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k3) = 18764 для простых k, не превышающих 100. Найдите Σf(k3) для простых k, не превышающих 5×106.
Задачу решили:
6
всего попыток:
10
По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:
Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Задачу решили:
15
всего попыток:
31
Найдите минимально возможную целочисленную длину стороны равностороннего треугольника, внутри которого существует точка, расстояния от которой до всех вершин треугольника также являются целыми числами.
Задачу решили:
4
всего попыток:
21
В правильном целочисленном треугольнике АВС есть такая точка внутри, что целочисленные расстояния a, b, c до его вершин образуют арифметическую прогрессию и НОД(a,b,c) =1. Найти сторону двадцать первого по величине такого треугольника.
Задачу решили:
2
всего попыток:
3
Для каждого натурального n определим функцию f(n) как количество хорд параболы y=x², концы которых имеют целочисленные координаты, и квадрат длины которых равен n. Например, f(4)=1, f(2)=2, f(3)=0 и f(50)=4. На рисунке изображены 4 хорды с целочисленными координатами концов и квадратом длины равным 50. Найдите наименьшее число n, для которого f(n)=8.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|