Ленточным прямоугольником толщины d назовем множество таких точек некоторого прямоугольника, расстояние которых до границы указанного прямоугольника не превышает d.

Будем рассматривать только ленточные прямоугольники, стороны и толщина которых выражаются натуральными числами, а удвоенная толщина меньше каждой из сторон.
На рисунке в качестве примера показаны два ленточных прямоугольника. Площадь каждого из них равна 28.

Сколько существует различных ленточных прямоугольников, площадь которых не превышает 1000000?
(Конгруэнтные ленточные прямоугольники следует считать одинаковыми)

Назовем квадратной рамкой плоскую фигуру, представляющую собой квадрат с вырезанным в нем квадратным отверстием, симметричную относительно вертикальной и горизонтальной осей и составленную из единичных квадратов.
Из восьми единичных квадратов можно составить единственную квадратную рамку размером 3х3 с отверстием 1х1 посередине. А из 32 квадратиков можно составить уже две рамки, как показано на рисунке:

Будем говорить, что натуральное число t относится к классу L(n), если из t квадратиков можно составить рамку n способами. Так, t = 8  относится классу L(1), а t = 32 принадлежит классу L(2).
Пусть N(n) – количество чисел t ≤ 1000000, принадлежащих классу L(n), например, N(15) = 832.
Найдите max(N(n)).

У каждого из четырех прямоугольных треугольников со сторонами (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) и (12,35,37) длина одного из катетов равна 12. Можно доказать, что других прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 нет. Таким образом, различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной 12 существует ровно четыре.
Для какого наименьшего целого числа a количество различных прямоугольных треугольников с целыми сторонами и катетом длиной a в точности равно 39062?

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD. В каждой вершине входящая в нее диагональ образует два угла со сторонами четырехугольника.
 

Например, в вершине A это будут углы BAC и CAD. Измерим величину этих восьми углов в градусах. Для некоторых четырехугольников полученные восемь чисел окажутся целыми. Будем называть такие четырехугольники невыпуклыми целыми четырехугольниками. Пример невыпуклого целого четырехугольника легко получить, если расположить точки A, B и C в вершинах правильного треугольника, а точку D в его центре. Другой пример получим, задав CAB=85°, BAD=55°, ABD=15°, CBD=50°, ACB=30°, BCD=25°, ADB=110°, BDC=105°.
Подсчитайте, сколько всего существует различных невыпуклых целых четырехугольников, если подобные четырехугольники считаются одинаковыми.

Пусть I_r – множество точек с целыми координатами x и y, лежащих внутри круга радиуса r, т.е. x² + y² < r².

При r=2 I₂ содержит 9 точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) и (1,-1).

Рассмотрим треугольники, вершинами которых являются точки, принадлежащие I₂. Среди них найдется ровно 8 треугольников, содержащих начало координат в своей внутренней области. Два из них показаны на рисунке, а остальные можно получить поворотами.

При r=3 существует ровно 360 треугольников с вершинами, принадлежащими I₃, содержащих начало координат в своей внутренней области, а для r=5 таких треугольников будет 10600.

Сколько найдется треугольников, все вершины которых принадлежат I₅₀₀, а начало координат лежит в их внутренней области?

Правильный треугольник со стороной 8 можно разбить на 64 одинаковых правильных треугольника, как показано на рисунке:

Раскрасим теперь то, что получилось, в три цвета: красный, синий и зеленый. Будем считать допустимой такую раскраску, при которых никакие два соседних (имеющих общую сторону) единичных треугольника раскрашены в разные цвета. Треугольники, имеющие общую вершину, но не имеющие общей стороны, не считаются соседними.
Вот пример допустимой раскраски для треугольника со стороной 8:

Обозначим через f(n) число различных допустимых раскрасок для треугольника со стороной n.
Если для получения одной раскраски из другой необходимы преобразования симметрии или повороты, мы будем считать такие раскраски различными.
Тогда f(1)=3, f(2)=24, f(3)=528.
∑f(n)=555 для 1 ≤ n ≤ 3.
Найдите ∑ f(n) для 1 ≤ n ≤ 8.

Будем называть треугольник шестидесятиградусным, если он имеет хотя бы один угол, равный 60 градусам, а длины его сторон выражаются целыми числами.
Обозначим через r радиус вписанной в такой треугольник окружности.
Существует 1580 различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ 100.
Обозначим через T(n) количество различных шестидесятиградусных треугольников с r ≤ n.
Тогда T(100) = 1580, T(1000) = 26231 и T(10000) = 394553.
Найдите T(2000000).

Треугольники с целыми длинами строн называются почти прямоугольными, если a²+b²=c²±1 (a≤b≤c). Сколько существут различных почти прямоугольных треугольников с периметром меньшем 10¹⁵.  

При строительстве стены используются кирпичи размером 2×1 и 3×1 (горизонтальный размер × вертикальный размер). Чтобы в стене не образовалась трещина, стыки между кирпичами не должны располагаться непосредственно друг над другом.
 
На рисунке красным цветом показано недопустимое расположение стыков.
Существует всего 8 допустимых способов построить стену длиной 9 и высотой 3 единицы. (Симметричные способы считаются различными.)
Найдите, сколькими способами можно построить квадратную стену, длина и высота которой равны 32 единицам. В качестве ответа укажите 8 младших разрядов результата.

Назовем треугольник с целочисленными сторонами a≤b≤c слегка остроугольным, если его стороны удовлетворяют равенству
a² + b² = c² + 1.
Найдите сумму периметров всех различных слегка остроугольных треугольников, стороны которых не превышают 10 000 000.