Паук S сидит в углу комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда и размеры 6×5×3. Муха F сидит в противоположном углу. Чтобы добраться до мухи, паук может ползти по стенам, полу или потолку комнаты. При этом он выбирает кратчайший возможный путь. В данном случае длина кратчайшего пути оказалась равной 10:

Однако, не для всякой комнаты длина кратчайшего пути  будет выражаться целым числом.

Рассмотрим все комнаты, у которых длина, ширина и высота - целые числа, не превышающие M. Оказывается что для M=100 найдется ровно 2060 различных комнат, для которых длина кратчайшего пути  будет целой, и это минимальное число, при котором количество решений превышает 2000, поскольку при M=99 будет только 1975 решений.

Найти наименьшее число M, при котором число решений будет больше 100 000 000.

В игре "Города" последовательно называют города, при этом каждый следующий город должен начинаться на букву, которой заканчивается предыдущий город. Запрещено повторять название городов. Например, сначала была названа "Москва" - заканчивается на "а", следует назвать другой город, у которого в названии первая буква "а". Это может быть "Архангельск". Следующий город должен начинаться на "к" и т.д.

Дан список городов России и их двухзначные номера:

01 КЕМЕРОВО
02 АРЗАМАС
03 САМАРА
04 КИРОВ
05 ОРСК
06 КАЛУГА
07 АРХАНГЕЛЬСК
08 КОВРОВ
09 ВЛАДИВОСТОК
10 ВОРОНЕЖ
11 АЛУШТА
12 КАЛИНИН
13 НОВГОРОД
14 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
15 НИЖНЕВАРТОВСК
16 ТАМБОВ
17 МОСКВА
18 МУРОМ
19 КУРСК
20 АБАКАН
21 НОРИЛЬСК
22 СМОЛЕНСК
23 ЖУКОВ
24 ГЛАЗОВ
25 ДЕРБЕНТ

Для каждой цепочки городов можно записать последовательно их номера без пробелов, в результате получится число. Какое максимальное число можно получить для данного набора городов?

На полке размещены музыкальные диски из n коробок, 1<=n<=100. Диски из одной коробки одной тематики и пронумерованы по порядку, дисков в коробке не более 10. За 1 шаг можно переставить один диск в любое место на полке.
За какое минимальное число шагов можно гарантированно переставить диски так, чтобы в итоге все диски с одинаковой тематикой находились рядом?

Римских цифр не много, вот они:

1  - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Однако в древности единообразия в записи чисел не было. Например, для обозначения числа четыре писали то IV, то IIII (такую форму записи до сих пор иногда используют на циферблатах часов).  А над 49-ым входом в римский Колизей можно увидеть номер XXXXVIIII, а не XLIX, как принято писать сейчас. Современные правила римской записи стали преобладающими уже в новое время. Они обеспечивают "экономную" запись, минимизируя число использованных знаков.

Запишем римскими цифрами несколько простых чисел:

II, III, V, VII, XI, XIII, XVII

При этом мы использовали знак X три раза. А сколько потребуется знаков X, чтобы записать современным "экономным" способом все простые числа от II до MMMCMXCIX?

В Думу одного государства избираются 450 депутатов по партийным спискам. Партия, набравшая максимум голосов (такая всегда есть) получает право по своему усмотрению
создать произвольное количество комитетов и определить численность каждого комитета.
Решение по каждому вопросу в Думе принимаются таким образом:
- сначала голосование происходит в комитете, если большинство проголосовало "за", то считается, что весь комитет проголосовал "за";
- если большинство комитетов проголосовало "за", то решение принимается.
Победившая партия стремится создать нужное количество комитетов, определить их численность и распределить своих депутатов таким образом, чтобы независимо от голосования депутатов других партий всегда добиваться нужного ей решения.
Какое минимальное количество депутатов может иметь победившая партия, если количество комитетов должно быть не менее 10, а количество депутатов в комитете не менее 10, но не более 45 депутатов? 

На каждой из 6 граней кубика изображена одна из цифр от 0 до 9. Так же и на другом кубе. Ставя два кубика рядом можно составить множество двузначных чисел.

Например число 64 будет составлено так:

Подобрав цифры на гранях, можно отобразить все числа которые можно получить суммой двух кубов меньшие сотни ( n = a³ + b³, n < 100, a и b - натуральные). Эти числа: 02, 09, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91. Например, с помощью наборов {5, 4, 3, 2, 1, 0} и {9, 8, 5, 4, 3, 1} могут быть выложены все необходимые числа. При этом надо учесть, что цифры 6 и 9 выглядят одинаково и могут использоваться друг за друга, хотя наборы с этими цифрами считаются различными. Тогда как один и тот же набор цифр расположенный на гранях кубика иным образом считается тем же набором.

То есть,

{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {3, 6, 4, 1, 2, 5} - одинаковые наборы;
{1, 2, 3, 4, 5, 6} и {1, 2, 3, 4, 5, 9} - различные наборы.

Сколько различных пар кубиков могут быть сложены во все числа представимые суммой пары кубов?

Точки P(x₁, y₁) и Q(x₂, y₂) с целочисленными координатами вместе с точкой начала координат O(0, 0) образуют треугольник OPQ.

Для 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2 всего 12 треугольников с углом 45 градусов. Вот координаты соответствующих им точек P и Q:

(0, 1) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
(0, 1) (2, 2)
(0, 2) (1, 1)
(0, 2) (2, 0)
(0, 2) (2, 2)
(1, 0) (1, 1)
(1, 0) (2, 2)
(1, 1) (2, 0)
(1, 2) (2, 2)
(2, 0) (2, 2)
(2, 1) (2, 2)

Треугольники где изменен только порядок точек P и Q, считаются одинаковыми.

Сколько различных треугольников с углом 45 градусов, если координаты точек находятся в пределах: 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 100?

Полоска бумаги состоит из 2048 клеток. Полоску сгибают ровно пополам так, что правый конец наложился на левый. Затем эту процедуру продолжают до тех пор, пока не останется одна клетка. На какое место от начала полоски нужно поставить отметку, чтобы она оказалась на самом верху?

Дана таблица из чисел, надо найти минимальный путь левого верхнего угла до правого нижнего. Возможны только движения: вправо, вниз и вправо-вниз. Длина пути считается так: число в левом верхнем углу, и каждый ход к данному числу прибавляется число на которое мы переходим, если движения вправо и вниз, и удвоенное число на которое мы переходим, если движение вправо-вниз.

Пример кратчайшего пути для таблицы 4 на 4:

40,35,13,32
60,58,40,20
83,18,11,53
72,50,85,75
Длина: 40+35+13+2*20+53+75 = 256

Найдите длину минимального пути в таблице 40 на 40:

71,78,41,12,23,40,74,98,98,92,98,46,63,99,44,46,83,78,18,48,21,84,18,69,41,57,91,25,33,12,63,22,84,18,37,11,15,15,87,47
97,94,72,41,77,43,96,29,72,52,16,18,82,19,36,80,30,89,47,18,77,53,12,30,75,38,81,22,45,37,82,17,17,48,62,67,73,41,57,68
47,45,68,35,13,49,52,11,77,33,37,27,77,16,62,65,68,64,33,96,50,65,22,23,98,14,87,72,48,12,92,63,60,19,85,57,62,12,33,15
91,73,13,75,91,62,27,71,68,17,74,52,34,56,98,13,53,46,42,35,98,55,84,96,68,49,72,16,36,83,66,91,76,30,10,43,80,95,56,21
73,54,92,21,84,84,26,23,80,57,25,62,28,48,43,24,66,34,86,71,55,84,70,23,83,39,80,61,68,33,58,77,59,96,82,87,92,94,29,42
83,58,67,37,19,49,86,26,95,66,66,21,92,14,97,43,40,78,44,77,41,71,30,55,43,32,27,54,55,81,18,64,20,15,10,56,39,17,35,87
90,54,51,34,31,52,32,50,12,13,96,23,57,89,49,88,89,57,67,86,10,62,82,48,87,18,44,53,40,41,48,25,61,43,34,84,78,40,54,71
14,40,51,31,54,50,97,55,79,31,39,41,81,49,98,83,56,91,62,22,60,87,12,91,27,78,68,90,30,63,91,18,16,87,76,84,65,84,54,20
30,12,35,83,93,97,13,11,49,29,42,17,86,56,74,28,40,73,19,65,10,34,12,58,16,64,45,22,39,61,95,24,78,81,95,54,39,36,90,70
59,96,95,97,65,71,11,53,12,60,14,38,11,28,76,44,14,38,49,87,28,41,74,29,62,83,40,47,23,10,79,17,21,96,52,29,65,36,44,75
57,83,50,79,94,43,49,78,64,15,59,34,39,95,80,25,61,97,36,45,38,71,41,78,39,30,24,60,80,36,15,86,40,32,97,78,81,40,92,63
94,69,26,48,99,95,41,99,73,17,64,72,53,29,20,13,34,95,16,38,91,25,19,79,98,32,36,45,43,79,30,81,54,65,45,35,96,28,13,83
21,54,37,78,82,49,45,11,55,11,13,24,12,93,29,46,12,54,66,96,16,96,29,48,77,84,58,73,31,54,74,86,82,52,19,75,51,69,42,67
70,70,15,91,25,43,52,86,71,30,65,25,28,99,24,90,20,84,67,39,59,38,12,83,50,19,47,45,74,32,35,37,66,23,94,77,38,23,37,36
66,30,63,77,56,19,35,38,79,58,58,76,89,64,10,92,15,35,30,57,33,16,53,73,41,43,58,21,31,79,20,17,83,53,90,92,46,33,56,22
85,10,75,47,98,42,15,97,92,60,13,91,30,15,49,86,38,18,62,88,62,87,70,94,63,61,53,86,38,73,38,19,41,91,56,18,75,88,40,66
32,48,53,87,31,78,34,95,65,10,89,80,71,29,99,40,20,96,98,85,96,14,58,42,59,34,58,78,40,83,12,26,35,69,45,21,56,74,53,21
87,13,61,61,15,73,84,20,80,43,43,99,55,31,52,83,50,78,24,48,96,57,37,81,48,11,39,64,64,22,96,78,55,77,21,59,70,40,64,23
13,66,96,85,61,95,64,13,34,88,70,55,64,55,23,98,70,49,39,43,38,21,18,76,52,63,66,31,19,78,43,40,55,62,84,36,57,85,96,63
29,99,59,85,59,88,43,81,75,41,51,55,56,56,22,54,24,51,83,63,29,27,88,16,83,94,94,21,61,28,87,63,11,85,82,30,35,13,13,22
39,12,43,73,90,14,44,99,40,16,23,27,99,76,43,41,75,29,81,22,64,76,49,32,68,52,78,14,97,51,10,14,60,96,86,68,30,15,65,60
88,19,54,41,63,62,95,77,99,40,95,84,76,40,19,57,75,78,80,70,63,61,99,62,19,64,32,66,10,39,77,62,70,98,73,36,11,86,68,72
95,46,13,65,76,86,55,68,75,51,10,50,94,82,12,26,53,63,92,38,78,96,69,29,87,84,45,91,41,45,49,12,90,33,21,79,61,69,76,64
64,91,93,59,45,18,58,34,17,11,29,67,85,53,75,89,20,78,94,68,32,42,19,18,47,79,77,29,94,73,37,45,79,63,10,53,97,63,70,57
17,31,91,79,83,54,55,69,94,16,56,48,82,59,57,12,84,16,99,15,45,24,59,53,91,67,52,10,98,30,84,38,51,49,10,44,45,99,21,96
51,81,69,44,91,38,88,72,99,62,50,90,80,12,11,56,11,54,10,76,91,78,83,23,75,35,35,94,85,36,61,84,57,18,64,90,75,97,88,44
92,21,57,44,19,30,91,94,73,89,90,51,51,33,77,55,47,77,28,19,64,22,37,79,62,80,41,82,46,89,36,52,72,52,43,24,14,35,40,32
10,16,17,90,24,40,70,72,22,42,60,83,18,85,44,54,43,51,96,41,95,36,26,12,35,27,34,33,67,26,45,91,90,30,49,80,15,34,84,25
16,16,61,98,85,30,47,15,62,46,61,82,51,16,63,58,91,25,41,84,38,47,42,82,68,80,49,78,32,56,18,88,32,70,36,36,61,61,63,81
67,81,15,73,80,53,73,93,73,18,84,67,71,10,78,82,35,20,41,46,23,86,35,56,49,24,20,93,40,81,96,19,89,78,30,94,57,38,29,79
45,12,77,84,13,59,45,73,93,88,71,70,70,94,55,80,81,76,38,11,47,84,62,41,64,77,77,57,35,14,66,21,52,71,88,95,93,25,68,90
94,51,62,47,46,81,67,69,81,21,98,35,49,65,79,88,20,29,77,25,62,23,71,17,70,23,97,36,50,26,47,97,40,40,51,22,87,60,92,98
92,95,47,64,18,35,88,57,54,41,16,91,69,47,57,29,66,52,27,26,85,76,58,86,82,53,12,13,55,40,35,85,33,64,38,20,91,81,15,62
28,90,72,39,60,96,39,34,98,89,62,67,32,60,22,76,65,61,20,96,80,45,21,13,76,62,31,88,21,71,43,65,47,92,30,84,63,29,44,82
10,63,97,11,73,65,44,48,27,26,66,87,95,98,49,35,51,77,69,96,17,80,11,56,48,38,19,59,25,91,33,83,92,23,14,99,85,12,14,84
39,48,84,33,96,74,41,32,15,97,24,99,27,71,26,48,20,41,36,49,92,82,59,19,15,60,30,33,68,40,86,18,60,48,97,93,16,86,23,84
48,90,29,93,39,84,15,87,47,68,43,67,17,53,61,99,52,51,96,46,47,50,36,82,31,50,52,97,63,75,69,18,98,66,74,33,46,37,78,83
27,33,58,13,19,27,43,75,54,49,78,39,76,41,97,12,12,72,18,26,91,17,44,39,27,13,60,32,87,66,24,83,99,51,51,56,68,34,86,28
15,89,29,36,10,30,28,66,53,81,61,79,71,87,55,24,57,84,98,40,99,81,93,36,19,66,63,88,66,20,57,81,50,65,91,16,27,70,50,89
88,17,91,50,43,60,52,52,35,35,28,27,79,76,23,90,55,44,32,93,21,30,91,56,18,11,98,26,72,31,23,95,54,31,97,33,19,30,38,51