В сильно  упрощенной модели белки можно рассматривать как цепочки гидрофобных (H) и полярных (P) элементов, например HHPPHHHPHHPH.

В этой задаче мы будем считать, что ориентация белка существенна, то есть белки HPP и PPH мы будем считать различными, а количество белков из n элементов будет равно 2ⁿ.

Гидрофобные элементы притягиваются друг к другу, и белок принимает наиболее энергетически выгодную конфигурацию так, чтобы максимизировать количество связей H-H. 

Поэтому элементы H часто находятся внутри белка, а элементов P больше снаружи. Конечно, настоящие белки имеют трехмерные конфигурации, но мы еще несколько упростим модель, ограничившись двумя измерениями и предполагая, что звенья цепочки занимают места в клетках квадратной решетки.

На рисунке показаны две конфигурации одного белка (связи H-H отмечены красными точками)

В конфигурации слева сформировалось всего лишь 6 связей H-H, поэтому такая конфигурация энергетически невыгодна и не может встретиться в природе.

Правая конфигурация имеет девять связей H-H, и это максимальное значение для такой цепочки. Будем называть оптимальными те конфигурации, которые обеспечивают максимальное количество связей H-H для данной цепочки.

77 из 256 восьмиэлементных цепочек в оптимальной конфигурации имеют более 4 связей H-H.

Сколько цепочек, состоящих из 15 элементов, в оптимальной конфигурации будут иметь более 9 связей H-H?

Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p².

Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа.

Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 2⁵•3³ и 1800 = 2³•3²•5² — ахиллесовы.

Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы.  Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. 

Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 2⁵•3², а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 2⁵•3¹•5¹.

Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396.

Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.

Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи:

S =1234567891011121314151617181920212223242...

Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее.

Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365.

Найдите ∑f(11^k), где 1≤k≤6.

Рассмотрим игру для двух участников. Игровое поле представляет собой полоску из n клеток белого цвета. Ходы совершают по очереди. Каждым ходом игрок должен закрасить любые две соседние белые клетки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

• При n=1 первый игрок автоматически проигрывает, поскольку не может сделать ни одного хода.
• При n=2 есть только один ход, который автоматически ведет к победе.
• При n=3 первый игрок может выбрать один из двух различных ходов, и оба они ведут к немедленной победе.
• При n=4 есть три варианта хода. Среди них есть один выигрышный ход, когда игрок закрашивает две средние клетки.
• При n=5 есть четыре варианта хода (они показаны на рисунке красным цветом), но все они ведут к поражению: второй игрок (показан синим цветом) всегда может выиграть.

Таким образом, первые три значения n, при которых первый игрок выигрывает – это 2,3 и 4, а первые два проигрышных значения – это 1 и 5. Третье проигрышное значение n=9, десятое: n=43.

Найдите миллионное значение n, при котором второй игрок всегда может победить.

Две лестницы длиной x и y опираются на противоположные стены коридора шириной w, как показано на рисунке. Пусть h – высота, на которой лестницы пересекаются. Нас интересуют случаи, когда все четыре числа – x,y,w и h – оказываются целыми.

Например, для x = 70 и y = 119 можно найти пару подходящих целых чисел h = 30 и w = 56. При 0<x<y<200 есть ровно пять пар (x,y), для которых существуют целые h и w, а именно: (70, 119), (74, 182), (87, 105), (100, 116) и (119, 175).

А сколько существует пар (x,y) при 0<x<y<1 000 000, для которых можно подобрать целые значения w и h?

Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник с  целыми сторонами, и 1 ≤ AB < BC < CD < AD. Точка O – середина диагонали BD. Будем называть четырехугольник ABCD биклинным, если длины отрезков BO, DO, AO и CO – целые числа, и AO = CO < BO = DO.

Например, когда AB = 19, BC = 29, CD = 37, AD = 43, BD = 48 и AO = CO = 23, четырехугольник ABCD является биклинным.

Обозначим через B(N) количество различных биклинных четырехугольников ABCD с целыми сторонами, у которых |AB|²+|BC|²+|CD|²+|AD|² ≤ N..

Можно проверить, что B(10 000) = 48 и B(1 000 000) = 38108. 

Найдите B(10 000 000 000).

Когда стали раздавать бесплатные участки на Луне, были установлены следующие правила. Каждому государству выделяется квадратная площадка размером 500 х 500 м. Площадка расчерчена на клетки размером 1 х 1 м, в углах которых установлено 251001 столбов. Забор должен состоять из прямолинейных отрезков, соединяющих столбы. 

Однако нужно учитывать, что строительство заборов в лунных условиях недешево.

Конечно, богатые государства построили себе ограды длиной 2000 м, которые ограничивали площадь 250 000 м2. Но финансы княжества Фенвик расстроены, и правительство поручило вам, Главному Программисту, найти оптимальную форму забора, обеспечивающую максимальное отношение площади огороженного участка к длине забора.

Прежде, чем писать программу, вы сделали предварительные расчеты. 

Для квадратного забора длиной 2000 м площадь участка получается равной 250 000 м², а отношение площади к длине ограды  равно 125.

Если бы разрешалось строить криволинейные заборы, то для круглого участка диаметром 500 м площадь будет равна π*250² м², длина ограды - π*500 м, и отношение будет равно тому же числу 125.

Если же отрезать от четырех углов площадки четыре равнобедренных прямоугольных треугольника с катетами 75 м, как показано на рисунке зеленым цветом, можно достичь существенного выигрыша. Действительно, площадь участка станет равной 238750 м², длина забора будет равна 1400+300√2 м, а интересующее нас отношение составит примерно 130,87. При этом будет использовано 1700 столбов.

Найдите форму участка, обеспечивающую максимум отношения площади огороженного участка к длине ограды. В качестве ответа укажите количество использованных столбов.

Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью.

Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. 

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N".

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P".

Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. 

Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.

Любое натуральное число может быть разбито на слагаемые вида 2ⁱ×3^j, где i,j ≥0, но в этой задаче мы будем рассматривать лишь те разбиения, у которых ни одно слагаемое не кратно другому. В дальнейшем будем называть такие разбиения специальными.

Например, разбиение числа 17 = 2 + 6 + 9 = (2¹×3⁰ + 2¹×3¹ + 2⁰×3²) не будет специальным, поскольку 6 кратно 2. Разбиение 17 = 16 + 1 = (2⁴×3⁰ + 2⁰×3⁰) тоже не специальное, так как 16 кратно 1. У числа 17 есть только одно специальное разбиение, а именно 8 + 9 = (2³×3⁰ + 2⁰×3²).

Некоторые числа имеют несколько специальных разбиений. Например, число 11 имеет два специальных разбиения:

11 = 2 + 9 = (2¹×3⁰ + 2⁰×3²) 

11 = 8 + 3 = (2³×3⁰ + 2⁰×3¹)

Обозначим через P(n) количество специальных разбиений числа n. Так, P(11) = 2.

Можно подсчитать, что сумма простых чисел q<100, для которых P(q)=2 равна 641.

Найдите сумму простых q < 1000000, для которых P(q)=2.

Последовательность Голомба {G(n)}  определяют как единственную неубывающую последовательность натуральных чисел, содержащую ровно G(n)  вхождений каждого натурального числа n.
Вот несколько первых значений G(n):

Можно подсчитать, что G(2¹⁰) = 87, G(2²⁰) = 6320, и что ΣG(2ⁿ) = 857297 при 1 ≤ n < 30.

Найдите ΣG(2ⁿ)для 1 ≤ n < 60.