Найдите максимальное из данных чисел и в ответ запишите произведение последних десяти цифр.

7241109^6793992, 8420107^6729722, 1159716^7685152, 5075272^6950376, 8427375^6729358, 1964837^7405537, 7055898^6805155, 8244615^6738623, 2080616^7376392, 2092123^7373597, 1625603^7503680, 5782933^6892109, 9817032^6665560, 1630694^7502039, 2188528^7350843, 9080891^6697988, 3450440^7128534, 8255210^6738079, 6464169^6843165, 1662223^7492010, 9598120^6674910, 8438327^6728810, 5325623^6928768, 6907456^6814344, 8884198^6707155, 3678567^7098347, 3597399^7108838, 4363524^7019067, 6566438^6836322, 1635631^7500454, 3352358^7142216, 9165081^6694133, 3307564^7148616, 1999154^7396699, 6827610^6819378, 5900694^6883197, 9494128^6679436, 2998722^7195603, 3422414^7132398, 2823024^7224853, 7417114^6783678, 2695837^7247346, 2764239^7235103, 2361771^7312682, 4790567^6976462, 6778362^6822517, 1990470^7398919, 8174740^6742226, 4871284^6968892, 3503508^7121314, 2868913^7217018

В одной стране, когда население достигло 1 миллиарда, правитель выдал всем жителям порядковые номера от 1 и до 10⁹. В этой стране счастливым считается число 888, поэтому сначала осчастливили тех, у кого номер оказался кратным 888. Затем счастливчиков упорядочили в порядке возрастания номеров и отобрали тех, кто оказался на местах кратных 888. Эту процедуру продолжали до тех пор, пока участников стало меньше 888. Их и объявили суперсчастливчиками. Чему равна сумма изначальных номеров суперсчастливчиков?

Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

Группу из 30 студентов нужно разбить на две команды, так чтобы в первой команде было больше студентов, чем во второй, но не более чем в полтора раза. При этом в каждой группе должны оказаться знакомые друг с другом студенты. Знакомство задается матрицей с элементами A_ij (1≤i,j≤30), в которой A_ij=A_ji=1,  если студенты с номерами i и j знакомы, и Aij=Aji=0 - если не знакомы. Также известно, что если i+j и i*j одновременно делятся на 3, то Aij=1, остальные элементы равны нулю. Сколько возможно разбиений на команды?

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

При игре в дартс участники метают три коротких дротика в мишень, разделенную на двадцать равных секторов, которые пронумерованы числами от 1 до 20.

Количество заработанных очков зависит от того, куда дротик воткнулся. Попадание дротика за пределами внешнего красно-зеленого кольца  не приносит очков. Попадание дротика в черный или желтый сектор внутри этого кольца приносит очки в соответствии с номером сектора. Внешнее красно-зеленое кольцо означает удвоение числа сектора, а внутреннее  - утроение. Два концентрических круга в центре мишени образуют "яблочко". Наружный зеленый круг дает 25 очков, а внутренний красный - 50. Он считается двойным (25x2=50).

Существует несколько вариантов игры. В самом распространенном из них игроки в начале игры имеют 301 или 501 очко, а затем последовательно вычитают заработанные очки. Выигрывает тот, у кого останется ровно ноль очков. Однако победа засчитывается только в том случае, если последний бросок, сводящий число очков к нулю, был "двойным", то есть попал во внешнее красно-зеленое кольцо или в красное "яблочко". В противном случае, а также когда после серии из трех бросков получается отрицательная сумма очков или единица, вся серия не засчитывается, и счет остается прежним.

Положение, при котором участник может завершить игру, называют "чекаут" (англ. checkout). Максимальный чекаут возможен при 170 очках: T20 T20 D25 (два попадания с утроением в сектор 20 и одно попадание в красное яблочко).

Есть ровно 11 способов окончить игру при шести очках:

D3   
D1  D2   
S2  D2   
D2  D1   
S4  D1   
S1  S1  D2
S1  T1  D1
S1  S3  D1
D1  D1  D1
D1  S2  D1
S2  S2  D1

Обратите внимание, что серии D1 D2 и D2 D1 считаются различными, поскольку последние броски с удвоением у них различны. Однако комбинации S1 T1 D1 и T1 S1 D1 считаются  одинаковыми. Кроме того, мы не учитываем промахи. D3 считается тем же исходом, что и 0 D3 или 0 0 D3.
Всего существует 42336 различных способов завершить игру. При оставшихся 6 очках можно завершить игру 11 способами, при 8 - 22 способами.
А при каком количестве очков можно завершить игру наибольшим числом способов?

Рассмотрим четырехзначные простые числа с повторяющимися цифрами. Ясно, что все цифры не могут быть одинаковы: 1111 делится на 11, 2222 делится на 22, и т.д. Но есть девять четырехзначных простых чисел, содержащих три единицы:
1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111
Обозначим через M(n, d) максимально возможное количество повторяющихся цифр в n-значном простом числе, где d - повторяющаяся цифра. Пусть N(n, d) - количество таких чисел, а S(n, d) - их сумма.
Тогда M(4, 1) = 3 - максимальное количество единиц в четырехзначном простом числе, всего существует N(4, 1) = 9 таких чисел, а их сумма равна S(4, 1) = 22275. Оказывается, что при d = 0 в четырехзначном простом числе может быть не более M(4, 0) = 2 нулей, и N(4, 0) = 13.
Таким образом, мы получим следующие результаты для четырехзначных простых чисел:

Найдите сумму всех S(n, d) для 3 ≤ n ≤ 10 и 0 ≤ d ≤ 9.

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?