Число 17 может быть представлено как сумма идущих подряд простых чисел:

2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Найдите самый длинный ряд последовательных простых чисел таких, что их сумма - тоже простое число меньшее 3000000. В ответе запишите произведение количества простых чисел в найденном ряде и их суммы.

Рассмотрим пятизначную конструкцию 56**3. Заменив звездочки одинаковыми цифрами, мы получим серию из 10 чисел 56003, 56113, ..., 56993. Семь из этих чисел простые (56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 56993).

Теперь рассмотрим все различные семизначные конструкции, состоящие из цифр и звездочек. Замена звездочек одинаковыми цифрами в каждой конструкции порождает серию из 10 чисел, например, конструкция **1*23* порождает серию: 0010230, 1111231, 2212232, 3313233, 4414234, ..., 9919239. Выберем только те конструкции, в которых после замены звездочек в полученной серии из 10 чисел имеется не менее 8-ми семизначных простых чисел. Теперь выбросим в отобранных конструкциях звездочки и полученные числа сложим. Чему равна сумма?

Оказывается есть такие числа, что при умножении их на некоторое число получается число, состоящее из цифр исходного числа. Например, 125874 * 2 = 251748.

Найдите все семизначные числа, которые при умножении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5 и 6 дают результаты, состоящие из цифр исходного числа. В ответе напишите сумму всех таких чисел.

Рассмотрим натуральное десятизначное число. Такое число назовем самоописывающимся, если выполнены следующие условия: первая цифра равна числу единиц в записи числа, вторая цифра равна числу двоек в записи числа, и.т.д. Девятая цифра равна числу девяток в записи числа. Таких чисел существует всего десять. Чему равна сумма их квадратов?

Можно доказать, что не существует прямоугольных треугольников, у которых длины всех трех сторон были бы простыми числами. Однако, существуют прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон являются натуральными числами и, кроме того, длины двух из трех сторон являются простыми числами. Примером такого треугольника является треугольник со сторонами 3, 4, 5. Если рассматривать прямоугольные треугольники, длины сторон которых не превосходят 100, то таких треугольников три штуки. Сколько существует таких треугольников с длинами сторон не более 109?

Рассмотрим все комбинаторные сочетания вида C^k_n= n!/(k!*(n-k)!), где 1 ≤ k ≤ n ≤ 2009. Найдите количество пар (n,k) таких, что 10⁶ < C^k_n ≤ 10⁷.

Если сложить число 47 с записанным в обратном порядке числом 74: 47 + 74 = 121, в результате получается палиндром 121 (читается одинаково слева направо и справа налево).

Оказывается, что не все числа так быстро превращаются в палиндромы:

349 + 943 = 1292,

1292 + 2921 = 4213,

4213 + 3124 = 7337.

То есть число 349 становится палиндромом после 3 таких операций.

Существуют такие числа, которые не станут палиндромом ни при каком количестве таких операций, например, таким числом является 196. Такие числа называются числами Лихрела.

Существуют палиндромы, которые сами являются числами Лихрела, например, 4994.

Рассмотрите такую же операцию в двоичной системе счисления. Например, число 22₁₀ = 10110₂, не образует палиндрома в пределах 1000 итераций:

10110₂ + 01101₂ = 100011₂,

100011₂ + 110001₂ = 1010100₂,

...

Найти все двоичные числа меньшие 2¹⁰, которые за 40 итераций не становятся палиндромами. Чему равна сумма всех найденных чисел в десятичной системе счисления?

Число "гугол" (googol) 10¹⁰⁰ - довольно большое, но сумма его цифр равна 1. Найдите максимальную сумму цифр чисел mⁿ, 0<m<2⁸, 0<n<2⁸.

Известно, что √3 = 1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + ...

То есть может быть представлен как цепная дробь с периодом (1, 2).

Посчитаем частичные суммы такой цепной дроби:

1 + 1/(1 + 1/2) = 5/3

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))) = 19/11

1 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(2 + 1/(1 + 1/2))))) = 71/41

Следующие частичные суммы дают такие дроби: 265/153, 989/571, 3691/2131, 13775/7953,...

Для последней из записанных дробей - числитель имеет больше цифр чем знаменатель. Среди первых 2009 таких частичных сумм найдите дроби у которых цифр в числителе больше чем в знаменателе. В ответе укажите количество таких дробей.

Рассмотрим спираль из натуральных чисел:

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Спираль формируется так: в центре 1, а затем числа последовательно  дописываются по спирали против часовой стрелки. Нас интересуют только числа находящиеся на одной горизонтали или вертикали с единицей. Для спирали с длиной стороны 7 доля простых среди них 4/13. Рассмотрите спирали с нечетными длинами сторон. Найдите спираль минимального размера, но большую чем дана в примере, для которой доля простых среди чисел меньше 1/10. В ответе запишите длину стороны такой спирали.