Как известно, последовательность Фибоначчи определяется рекуррентно:

f(0)=0 , f(1)=1, и f(n)=f(n-1)+f(n-2) при n>1.

Найдите Σf(p_i), где p_i – простые числа, и 10¹⁴< p_i <10¹⁴+5*10⁶.

Остаток от деления полученной суммы на 1234567891011 будет ответом к этой задаче.

Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом.

Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c).

Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными.

Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция.

Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.

Обозначим через U(n,m) количество биномиальных коэффициентов C^k_m, которые не делятся ни на 2, ни на 5, где натуральные числа m,n и k удовлетворяют неравенству m≤k<n.

Например, U( 1234567890, 10⁷-10) = 24.

Найдите U(1234567890987654321, 10¹²-10).

Круглое болото разбито на секторы, перенумерованные по часовой стрелке числами от 1 до 500. Лягушка, сидящая в одном из секторов, может прыгнуть в один из двух соседних секторов с равной вероятностью.

Перед тем, как прыгнуть, лягушка квакает. 

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "P" и с вероятностью 1/3 квакает "N".

Если номер сектора, в котором сидит лягушка, не является простым числом, она с вероятностью 2/3 квакает "N" и с вероятностью 1/3 квакает "P".

Предположим, что в начальный момент лягушка может занимать любой из секторов с равной вероятностью. Подсчитайте вероятность того, что после 15 прыжков лягушачью песнь можно будет закодировать последовательностью PPPPNNPPPNPPNPN. 

Результат представьте в виде несократимой дроби, а в качестве ответа укажите ее числитель.

Сферическим треугольником называют фигуру на поверхности сферы, ограниченную дугами больших кругов, имеющими попарно общие концы.

Пусть C(r) – сфера с центром в начале координат (0,0,0) и радиусом r.

Пусть Z(r) – множество точек сферы C(r) с целыми координатами.

Пусть T(r) – множество сферических треугольников с вершинами, принадлежащими Z(r). Вырожденные сферические треугольники с вершинами, принадлежащими одному большому кругу, не включаются в T(r).

Пусть A(r) – наименьшая площадь треугольника из T(r), а B(r) =(4πr²)/A(r) – величина, обратная доле площади сферы, которую занимает наименьший сферический треугольник.

Например, A(14) ≈3,294040, а B(14) ≈ 748.

Найдите максимальное значение B(r) для натуральных r, не превышающих 50. Результат округлите до ближайшего целого.

Вообразите бесконечный в оба конца ряд чаш, перенумерованных целыми числами.

В некоторых чашах лежат бобы. Разрешается делать ходы следующего вида: взять два боба из одной чаши и разложить их в две соседние. Игра заканчивается, когда сделать ход невозможно.

В примере на рисунке в две соседние чаши положили 2 и 3 боба, а остальные чаши оставили пустыми. Как видно, такую игру можно закончить за 8 ходов.

Рассмотрим последовательность целых чисел bi следующего вида:

b0 = 0, b1 = 289, b2 = 145

bi = (bi-1 + bi-2 + bi-3) mod 2013,

где x mod y означает остаток от деления x на у.

Пусть количество бобов в двух соседних чашах определяется числами b1 = 289 и b2 = 145, а остальные чаши в начальном положении пусты. В этом случае игру можно закончить за 3419100 ходов.

Подсчитайте, сколько ходов потребуется для завершения игры , если в начальном положении в чашах с номерами от 1 до 1500 лежит b1, b2, ... b1500 бобов, соответственно, а остальные чаши пусты.

Возьмем натуральное число k, и будем выписывать последовательность рациональных чисел a_i = x_i/y_i следующим образом:
a₁ = 1/k
a_i = (x_i-1+1)/(y_i-1-1) при i>1.
При этом все дроби x_i/y_i будем приводить к несократимому виду.
Мы будем продолжать последовательность до тех пор, пока нам не встретится целое число n.
Определим функцию  f(k)  как f(k) = n.
Например, при k = 20:

1/20 → 2/19 → 3/18 = 1/6 → 2/5 → 3/4 → 4/3 → 5/2 → 6/1 = 6

Поэтому f(20) = 6.

Можно проверить, что f(2) = 2, f(3) = 1 и Σf(k³) = 18764 для простых k, не превышающих 100.

Найдите Σf(k³) для простых k, не превышающих 5×10⁶.

По бесконечной клетчатой доске, клетки которой окрашены в черный или в белый цвет, ползает муравей. Он может двигаться в одном из четырех направлений: вверх, вниз, влево и вправо, с каждым шагом перемещаясь в соседнюю по стороне клетку. При этом муравей соблюдает следующие правила движения:

• Если он находится на черной клетке, он перекрашивает клетку в белый цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов против часовой стрелки и переходит в соседнюю клетку.
• Если он находится на белой клетке, он перекрашивает клетку в черный цвет, изменяет направление своего движения на 90 градусов по часовой стрелке и переходит в соседнюю клетку.

Пусть в начальный момент все клетки доски белые, а муравей находится в точке с координатами x=0 и y=0. Клетки доски ориентированы вдоль координатных осей и имеют единичный размер.
Найдите |x|+|y| после 10¹⁸ шагов.

В фигуре на верхнем чертеже содержатся k₃ треугольников, k₄ четырёхугольников, k₅ пятиугольников, k₆ шестиугольников и так далее.

В фигуре на нижнем чертеже показан один из 10-угольников.

Найдите сколько всего многоугольников  k_n для n=3, 4, 5,... содержится в верхней фигуре. В ответ вводите все ненулевые числа k_n подряд без пробелов слева направо: k₃k₄k₅... и так далее.