Суперферзь отличается от обычного тем, что он может ходить и как конь. Сколькими способами можно расствить 14 суперферзей на шахматной доске размера 14 на 14 таким образом, чтобы ни один суперферзь не находился под ударом другого суперферзя? Позиции, получающиеся друг от друга поворотом или зеркальным отображением, считаются разными.

Даны наборы чисел (x_n, y_n, r_n), n=1,...100, задающие окружности с центром в точке с координатами (x_n, y_n)  и радиусом r_n.  Эти числа выбираются так двухзначные числа состоящие из цифр после запятой  в записи числа π, стоящие соответственно для x_n - на n и n+1 местах,  для y_n - на n+2 и n+3 местах, и r_n - на n+4 и n+5 местах. Таким образом, x₁=14, y₁=15, r₁=92 и т.д. Найдите количество точек пересечения (включая точки касания) этих окружностей.

Пусть на координатной плоскости точка O(0,0) - начало координат, а C - точка с координатами (r,r).
Обозначим через N(r) количество тупоугольных треугольников OBC, у которых сторона OB короче стороны OC, а обе координаты вершины B - целые числа.

Например, N(1)=2, и N(4)=60.

Найдите N(2²⁷).

В этой задаче мы будем рассматривать треугольники на плоскости со следующими свойствами:

• Координаты их вершин – целые числа;
• Центр описанной окружности совпадает с началом координат;
• Ортоцентр (точка пересечения высот) имеет координаты (5, 0).

Существует девять таких треугольников с периметром, не превышающим 50. Все они показаны на рисунке

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) 
Сумма их площадей равна 445.
Найдите все треугольники, обладающие указанными свойствами, периметр которых не превышает 10⁵.
Легко показать, что сумма их площадей является целым числом. Она и будет ответом к этой задаче.

Рассмотрим треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, и, кроме того, градусная мера хотя бы одного из углов — тоже целое число. Ограничимся при этом треугольниками с периметром, не превышающим 10⁸.
Найдите сумму их периметров.

Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке:

Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?

Горизонтальная полоска состоит из 2n + 1 клеток. Средняя клетка оставлена пустой, слева от нее в n клетках стоят красные фишки, а справа – синие. На рисунке показано расположение фишек для случая n = 3.

Фишки могут совершать ходы двух видов: шаги, когда фишка перемещается на соседнюю незанятую клетку, и скачки, когда одна фишка перепрыгивает через другую в следующую непосредственно за нею пустую клетку.

Обозначим через M(n) минимальное количество ходов, необходимое для того, чтобы поменять местами синие и красные фишки, так, чтобы красные фишки оказались справа от центра, а синие – слева.

Легко проверить, что M(3) = 15, а 15 является треугольным числом.

Построим последовательность таких n, для которых M(n) является треугольным числом.

В этой последовательности ровно пять чисел, не превышающих 100, а именно 1, 3, 10, 22 и 63. Их сумма равна 99.

Найдите сумму всех n, не превышающих 10¹⁷, для которых M(n) является треугольным числом.

Несколько комнат последовательно соединены автоматическими дверями, как показано на рисунке.

Двери открывают с помощью карт доступа. При этом каждую карту можно использовать лишь однажды: когда вы проходите в комнату, двери за вами автоматически закрываются, а карта не возвращается. Аппарат в начале маршрута может выдать вам в любое время любое количество карт без ограничений, однако система слежения не позволяет иметь на руках более трех карт одновременно. При нарушении этого правила срабатывает сигнал тревоги, а все двери запираются навсегда. Поэтому если вы возьмете при входе три карты и пойдете прямо к выходу, то в комнате №3 у вас карт не останется, и вы окажетесь в ней заперты с обеих сторон.

К счастью, в каждой комнате есть сейф, куда можно складывать карты в любом количестве.

Пользуясь этими сейфами, вы сможете достичь выхода. Например, вы можете войти в комнату № 1, использовав одну карту, положить вторую карту в сейф, а с помощью третьей карты вернуться к началу маршрута. Получив там в аппарате еще три карты, вы используете одну, чтобы войти в комнату №1 и взять там из сейфа оставленную карту. Теперь у вас в руках снова будет три карты, и этого достаточно, чтобы открыть три оставшиеся до выхода двери. Итак, вы можете пройти анфиладу из трех комнат, использовав всего 6 карт.

6 комнат можно пройти, используя 123 карты и не имея на руках более 3 карт одновременно.

Пусть C - максимальное количество карт, которые можно иметь при себе.

Пусть R - количество комнат, через которые нужно пройти от входа (“Start”) до выхода (“Finish”).

Обозначим через M(C,R) минимальное количество карт, необходимых для прохода через R комнат, имея при себе не более C карт в каждый момент времени.

Например, M(3,6)=123 и M(3,7)=366.

Поэтому ΣM(3,R)=489 при 6≤R≤7.

Можно подсчитать, что ΣM(5,R)=2841 при 1≤R≤15.

Найдите ΣM(5,R) при 1≤R≤60.

Фруктовый сад имеет шестиугольную форму, а деревья в саду растут в вершинах треугольной решетки. На рисунке показан план такого сада со стороной n=5:

Из центра сада можно увидеть только часть деревьев, поскольку некоторые (они на рисунке обозначены зеленым цветом) заслонены другими, растущими ближе к наблюдателю. Легко подсчитать, что для сада со стороной n=5 количество заслоненных деревьев равно 30.
Обозначим через H(n) количество заслоненных деревьев для шестиугольного сада со стороной n.
Можно проверить, что H(5) = 30, H(10) = 138, а H(1000) = 1177848.
Найдите H(1234567890).