Фруктовый сад имеет шестиугольную форму, а деревья в саду растут в вершинах треугольной решетки. На рисунке показан план такого сада со стороной n=5:

Из центра сада можно увидеть только часть деревьев, поскольку некоторые (они на рисунке обозначены зеленым цветом) заслонены другими, растущими ближе к наблюдателю. Легко подсчитать, что для сада со стороной n=5 количество заслоненных деревьев равно 30.
Обозначим через H(n) количество заслоненных деревьев для шестиугольного сада со стороной n.
Можно проверить, что H(5) = 30, H(10) = 138, а H(1000) = 1177848.
Найдите H(1234567890).

Циклическим называют натуральное число из n знаков, обладающее следующим интересным свойством: если умножить его на 1, 2, 3, 4,…, n-1 или n, то произведение будет состоять из тех же цифр, но переставленных циклически.

Если не считать тривиального числа 1, наименьшим циклическим числом будет 142857:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Если, как это обычно принято, не писать нулей в старших разрядах, то больше циклических чисел мы не обнаружим. Однако если начинать с нулей, можно найти их бесконечно много, например, следующим циклическим будет 16-значное число 0588235294117647:

0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
...
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Найдите наибольшее циклическое число, которое начинается цифрами 00000000123 и заканчивается цифрами 56789 (то есть число вида 00000000123...56789, где многоточие означает некоторое неизвестное количество цифр). В качестве ответа укажите сумму его цифр.

Сколькими различными способами можно разрезать шестиугольник из 54-х одинаковых равносторонних треугольников по линиям сетки на три конгруэнтных n–угольника?

Разрезания, являющиеся симметрическими отображениями друг друга, считать только один раз. Т.е., нужно найти количество «неконгруэнтных разрезаний».