На рисунке изображен большой круг. Его радиус равен 10000.

Внутри большого круга изображены три светло-коричневых круга поменьше. Эти три круга и большой круг попарно касаются друг друга.

Между соприкасающимися кругами образовались четыре промежутка, в которые тоже можно вписать круги. При этом появляются новые промежутки, в которые можно вписывать круги вновь и вновь сколь угодно долго.
Найдите суммарную площадь всех построенных таким образом кругов (кроме одного исходного круга самого большого размера), радиус которых больше 1. Результат округлите до целого.

В данной задаче мы будем рассматривать "ориентированные" тетраэдры, координаты вершин которых имеют вид:
{(x, y, z), (x+a, y, z), (x,y+a,z), (x,y,z+a)}, a>0, и x,y,z,a – целые числа. Объем такого тетраэдра равен a³/6.
Если мы захотим найти общий объем объединения нескольких ориентированных тетраэдров, то, возможно, он окажется меньше суммы их объемов, если некоторые из тетраэдров пересекаются.
Построим последовательность ориентированных тетраэдров T₁, T₂, …, T_n,… следующим образом:
x_n = S_4n-3 (mod 10000)
y_n = S_4n-2 (mod 10000)
z_n = S_4n-1 (mod 10000)
a_n = 1+S_4n (mod 699),
а S_k  получены при помощи генератора случайных чисел Фибоначчи с запаздываниями:
При 1≤k≤55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (mod 1000000), и при 56≤k, S_k = [S_k-24  + S_k-55 ] (mod 1000000).
(p (mod q) означает остаток от деления p на q.)
Таким образом, у тетраэдра T₁ x =7, y=53, z=183, a=655, у тетраэдра T₂ x =863, y=1497, z=2383, a=112 и т.д.
Объем объединения первых 300 ориентированных тетраэдров T₁ … T₃₀₀ равен 3999927695 (по счастливому совпадению это число оказалось целым).
Найдите объем объединения первых 50000 ориентированных тетраэдров T₁ … T₅₀₀₀₀ (благодаря еще одному счастливому совпадению это число тоже целое).

В игру "Погоня" играет четное количество игроков за круглым столом двумя игральными костями.
В начале игры два игрока, сидящие друг напротив друга, получают каждый по кости. Каждую секунду игроки, получившие кость, делают ход. Для этого они одновременно бросают кубик, и если выпадает 1, они передают кость соседу слева, а если выпадет 6 – соседу справа. В остальных случаях кубик остается у игрока до следующего хода. Игра заканчивается, когда оба кубика после очередного хода окажутся у одного игрока. Этот игрок считается проигравшим.
Однажды за стол сели играть 100 игроков. Их перенумеровали подряд по часовой стрелке. Спустя некоторое время кубики оказались у игроков № 33 и № 77.
Каково ожидаемое время до конца игры?
Ответ дайте в миллисекундах, округлив его до целого.

Пусть S_n – правильный n-угольник, вершины которого v_k (k = 1,2,…,n) имеют координаты:

Как обычно, под многоугольником понимается фигура, включающая и ограничивающую замкнутую ломаную, и внутреннюю область.
Рассмотрим две точки на плоскости с координатами (u,v) и (x,y). Их суммой будем называть точку с координатами (u+x,v+y).
Суммой Минковского, S+T двух плоских фигур S и T будем называть множество всевозможных сумм точек, одна из которых принадлежит S, а другая принадлежит T.
Например, сумма S₃ + S₄ представляет собой шестиугольник, окрашенный на рисунке в пурпурный цвет.

Рассмотрим фигуру S₁₅₀₀ + S₁₅₀₁+ … + S₂₅₀₀, представляющую собой многоугольник. Сколько у этого многоугольника сторон длиннее, чем 1/200?

Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?

Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}.
Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.
Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m.
Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1]
Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 10¹⁸.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков.

По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:

• Лёва забывает то число, которое не выдавалось генератором наиболее продолжительное время
• Петя забывает то число, которое первым попало в память.

В начале соревнования память игроков свободна.

Вот пример начала игры:

Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)², результат умножьте на 10⁸ и округлите до ближайшего целого.

Английский математик Джон Хортон Конвей изобрел множество математических развлечений, доставляющих не только удовольствие, но и пищу для серьезных размышлений. Одно из его изобретений – язык программирования FRACTRAN, о котором пойдет речь в данной задаче.

Память данных виртуальной машины языка FRACTRAN содержит одно единственное целое число, а программа представляет собой упорядоченную последовательность рациональных дробей. На каждом шаге выполнения программы машина просматривает эти дроби одну за другой слева направо и умножает каждую из них на число из памяти, пока произведение не окажется целым. Полученное целое число записывают в память вместо предыдущего. 

Вот, например, FRACTRAN-программа, предложенная Конвеем для получения последовательности простых чисел:

17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55/1.

Записав в память исходное значение 2, получим в памяти ряд чисел в следующей последовательности:

15, 825, 725, 1925, 2275, 425, 390, 330, 290, 770, 910, 170, 156, 132, 116, 308, 364, 68, 4, 30, ..., 136, 8, 60, ..., 544, 32, 240, ...

Оказывается, степени двойки в полученной последовательности встречаются только с простыми показателями: 2², 2³, 2⁵, ..., и можно проверить, что данная последовательность будет содержать в порядке возрастания все степени двух с простыми показателями.

Заметим, что для получения 2² из исходного числа 2 потребовалось 19 шагов программы, и при этом три раза происходило умножение на дробь 13/11.

А сколько раз придется выполнить умножение на 13/11 при переходе от исходного числа 2 к 2¹¹¹¹¹⁹?