Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?

Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}.
Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.
Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m.
Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1]
Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 10¹⁸.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

В этой задаче мы будем рассматривать треугольники на плоскости со следующими свойствами:

• Координаты их вершин – целые числа;
• Центр описанной окружности совпадает с началом координат;
• Ортоцентр (точка пересечения высот) имеет координаты (5, 0).

Существует девять таких треугольников с периметром, не превышающим 50. Все они показаны на рисунке

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) 
Сумма их площадей равна 445.
Найдите все треугольники, обладающие указанными свойствами, периметр которых не превышает 10⁵.
Легко показать, что сумма их площадей является целым числом. Она и будет ответом к этой задаче.

Рассмотрим треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, и, кроме того, градусная мера хотя бы одного из углов — тоже целое число. Ограничимся при этом треугольниками с периметром, не превышающим 10⁸.
Найдите сумму их периметров.

Рассмотрим треугольник ABC с целочисленными сторонами. Пусть k – биссектриса угла ACB, m – касательная в точке C к окружности, описанной вокруг ABC, а прямая n проведена через точку B параллельно m. Прямые k и n пересекаются в точке E, как показано на рисунке:

Сколько существует треугольников ABC со сторонами BC ≤AC ≤AB≤ 30000, для которых длина BE оказывается целым числом?

При изготовлении микросхемы, состоящей из n транзисторов, образовалось k микродефектов. Дефекты распределены случайным образом, каждый дефект оказался в одном из транзисторов, и в любом транзисторе могло оказаться любое количество дефектов. Если в каком-либо транзисторе оказалось три или более дефектов, такой транзистор не работает, и вся микросхема идет в брак.

Обозначим через E(n,k) математическое ожидание количества транзисторов, содержащих дефекты, в годной микросхеме. Например, E(13,3)≈2.78571...

Найдите E(1000000,20000), умножьте на 100000, а результат округлите до целого.

Рассмотрим построение последовательности графов Серпинского:

• Граф Серпинского первого порядка S1 представляет собой равносторонний треугольник (три вершины и три соединяющих их ребра).
• Граф Серпинского  S_n+1 порядка n+1 представляет собой объединение трех графов S_n, имеющих попарно общую вершину, как показано на рисунке:

Пусть C(n) — количество циклов, проходящих через каждую вершину  S_n ровно один раз. Например, C(3)=8, поскольку граф  S₃ позволяет построить ровно 8 подобных циклов, как показано на рисунке: 

Легко проверить, что 

C(1) = C(2) = 1

C(5) = 71328803586048

C(10 000) mod 10⁸ = 37652224

C(10 000) mod 7¹⁰ = 221100305

(Здесь a mod b означает остаток от деления a на b.)

Найдите C(C(C(10 000))) mod 7¹⁰.

Рассмотрим игру на прямоугольной клетчатой доске. Одна клетка доски не занята, на остальных стоят фишки. Каждым ходом игрок передвигает на свободную клетку одну из соседних (по вертикали или горизонтали) фишек. В начале игры пустая клетка находится в правом нижнем углу, в левом верхнем углу находится красная фишка, а на остальных клетках стоят синие фишки. Цель игры — переместить красную фишку в правый нижний угол за наименьшее количество ходов. На рисунке ниже показана последовательность ходов для доски 2 х 2.

Пусть S(m,n) -минимальное количество ходов, необходимое для перемещения красной фишки в правый нижний угол для доски m х n. Можно проверить, что S(5,4) = 25.

Существует всего 256 различных досок с сторонами m и n, не превышающими 100, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.

Подсчитайте количество досок со сторонами m и n, не превышающими 10¹⁰, для которых S(m,n) является квадратом натурального числа.