Будем вырезать из бумаги в клетку прямоугольники размером w × h клеток, где w и h – натуральные числа. Некоторые из них можно разрезать по клеточкам на две части так, что из этих частей составится новый прямоугольник другого размера.
Например, прямоугольник размером 9 × 4 клетки можно превратить в прямоугольники 18 × 2, 12 × 3 или 6 × 6, как показано на рисунке:

Аналогично, из прямоугольника 9 × 8 можно сделать прямоугольники размером 18 × 4 и 12 × 6 клеток.
Обозначим через F(w, h) количество различных прямоугольников, которые можно получить из прямоугольника размером w × h клеток. При этом прямоугольники с размерами a × b и b × a считаются одинаковыми, а прямоугольники, конгруэнтные исходному, не учитываются.
Тогда получим: F(2,1) = 0, F(2,2) = 1, F(9,4) = 3 и F(9,8) = 2.
Пусть G(N)=Σ F(w, h) для всех 0 < h ≤ w ≤ N.
Можно проверить, что G(10) = 55, G(10³) = 971745, а G(10⁵) = 9992617687.
Найдите ΣG(10^k), где 1≤k≤12. В качестве ответа укажите 8 младших цифр результата.

Полем игры из этой задачи является полоска из n клеток, а фишками — монеты.
Одна из этих монет — серебряный доллар — ценная, а остальные — медные — ценности не представляют. Игроки могут совершать ходы двух типов:
1. Сдвинуть любую монету влево на одну или несколько клеток. При этом поставить монету можно только на свободную клетку, и перескакивать через занятые клетки нельзя.
2. Забрать с доски монету, ближайшую к левому краю.
Если ходов первого типа нет, игрок обязан забрать самую левую монету.
Выигрывает тот, кто заберет серебряный доллар.

Выигрышной называется позиция, при которой очередной игрок, правильно выбирая ходы, может обеспечить себе победу независимо от действий второго игрока. Остальные позиции называются проигрышными.
Пусть L(n,c) – количество проигрышных позиций для поля из n клеток, на которое расставляют c медных монет и один серебряный доллар.
Можно проверить, что L(10,3)=150 и L(103,13)= 32792060838490304.
Найдите остаток от деления L(1000003,103) на 1000003.

Космонавты осваивают планету, имеющую радиус r. Они построили две станции на полюсах планеты, имеющих координаты (0,0,r) и (0,0,-r) в системе координат, связанной с центром планеты.
Также они установили несколько промежуточных станций, расположенных во всех точках поверхности планеты, имеющих целые координаты.

Все станции связаны дорогами, проложенными по кратчайшей дуге большого круга, однако путь между станциями требует больших затрат, равных (d/(π r))², где d – протяженность дороги между двумя станциями. Если маршрут включает посещение нескольких промежуточных станций, затраты на все путешествие равны сумме затрат на отдельных участках.
Маршрут, проложенный между полюсами планеты и не проходящий через промежуточные станции, будет иметь длину πr, а затраты будут равны 1. Если же включить в маршрут одну промежуточную станцию с координатами (0,r,0), затраты уменьшатся вдвое:   (½πr/(πr))²+(½πr/(πr))²=0,5.
Будем называть оптимальным маршрут между полюсами планеты, если он требует минимальных затрат.
Например, при r=7 оптимальный маршрут будет проходить через 6 промежуточных станций, а затраты составят примерно 0,1784943998…
Подсчитайте, сколько промежуточных станций посетят космонавты, путешествуя по оптимальному маршруту между полюсами планеты с r=33333.