Сколько чисел начинается с цифры 9 среди чисел 2ⁿ, где n=0, 1,...,10⁹?

Найдите минимальное n при котором в записи 3ⁿ числа имеется 7 подряд идущих нулей.

Сообщение в системе шифрования RSA представляет собой некоторое число m. Если необходимо зашифровать текст, сначала его каким-то известным образом превращают в число, а затем происходит собственно шифрование.

Шифрование осуществляется следующим образом:

• Выбирают два различных простых числа p и q.
• Вычисляют n=pq и φ=(p-1)(q-1). Число n должно быть достаточно велико, чтобы сообщения m попадали в интервал [0,n-1].
• Выбирают целое число e, 1<e<φ, не имеющее общих делителей с φ (gcd(e,φ)=1).
• Из числа m получают зашифрованное сообщение c=m^e mod n (здесь a mod b означает остаток от деления a на b).

Чтобы расшифровать текст, действуют следующим образом:

• Находят число d такое, что ed=1 mod φ
• Для зашифрованного сообщения c, вычисляют m=c^d mod n.

Однако иногда попадаются такие неудачные сочетания e и m, что m^e mod n=m. Будем называть такие сообщения нескрытыми. Необходимо выбирать e таким образом, чтобы нескрытых сообщений было меньше. Например, пусть p=19 и q=37.
Тогда n=19*37=703, и φ=18*36=648.
Если мы выберем e=181, абсолютно все сообщения m (0≤m≤n-1) окажутся нескрытыми, хотя условие gcd(181,648)=1 выполняется. Такой выбор крайне неудачен.
К сожалению, для любого e, выбранного согласно указанным правилам, всегда найдется сколько-то нескрытых сообщений.
Возьмем p=1009 и q=3643. Найдите количество таких e, 1<e<φ(1009,3643),  gcd(e,φ)=1, для которых количество нескрытих сообщений минимально.

Найдите количество различных троек натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что xⁿ+yⁿ=z^m (n и m - натуральные, n>2, m>1).

Рассмотрим различные тройки взаимно простых натуральных чисел x < y  < z < 10⁷ таких, что x²+y²=z². Найдите количество натуральных чисел p < 10⁷, которые не входят ни в одну такую тройку.

В ряду 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15,... представлены числа, которые имеют простые делители только числа 2, 3 и 5. Продолжите этот ряд и найдите число в этом ряду, которое находится на месте с номером 10000. 

Рассмотрим функцию ([] означает округление вниз) и последовательность u(n), заданную следующим образом:

u(0) = 10⁹
u(n+1) = f(u(n))

Найдите u(10¹⁸).

k-значное натуральное число называется сбалансированным, если сумма его первых  [k/2]  цифр его равна сумме последних  [k/2] цифр. Здесь  x  обозначает округление вверх, например, [π] = 4 и [5] = 5.
Понятно, что все палиндромы являются сбалансированными, как и число 13722.
Обозначим через T(n) сумму всех сбалансированных чисел, меньших, чем 10ⁿ.
Например, T(1) = 45, T(2) = 540 and T(5) = 334795890.
Найдите остаток от деления T(2000) на 3¹⁵.

Рассмотрим нечетное число 225 = 3² × 5².
225² = 50625 = 3⁴ × 5⁴ = 9² × 25². Поэтому функция Эйлера φ(50625) = 2 × 3³ × 4 × 5³ = 2³ × 3³ × 5³ .
Итак, число  50625 является квадратом, а φ(50625) является кубом.
Найдите сумму нечетных n, 1 < n < 10¹⁰ , для которых функция Эйлера φ(n²) является кубом натурального числа.