Из каждого узла решетки за один шаг можно попасть только в следующий узел справа или ниже.
Например, для решетки на рисунке размера 4 на 4, указан один из
правильных путей:

Сколько имеется различных путей от верхнего левого угла решетки до правого нижнего угла квадратной решетки размера 40 на 40?

Каким числом будет 1-й понедельник 1 000 000 года нашей эры? Следует учитывать, что год високосный, если он кратен 4 и при этом не кратен 100, либо кратен 400, например, 2012 и 2400 - високосные года, а 2100 - невисокосный.

Запишите кубы натуральных чисел подряд:

1 8 27 64 125...

Какие цифры находятся на миллионной и следующей позициях? (Введите обе цифры в том порядке, как они встречаются в записи без всяких разделителей.)

Для натурального числа, меньшего 1 миллиона, рассмотрим все записи в системах счисления от 3 до 16.

Какое максимальное число имеет во всех записях наибольшее количество цифр 2?

Составьте набор из 2009 натуральных чисел, не превосходящих 1000000, и таких, что среди них нет ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т.е. ни одной тройки a, b, c, в которой a + c = 2b). Чему равна максимальная сумма всех чисел в таких наборах?

Функция f(n) определена для всех натуральных n и принимает целые неотрицательные значения. Известно, что f(n) удовлетворяет условиям:

а) при любых m и n f(m + n) – f(m) – f(n) принимает значения 0 или 1,

б) f(2) = 0,

в) f(3) > 0,

г) f(9999) = 3333.

Найти f(2009).

Рассмотрим такие диофантовы уравнения:

x²-Dy²=1.

Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое:

649²-13*180²=1.

Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует.

Рассмотрим минимальные решения D <= 10:

3² - 2*2²=1;

2² - 3*1²=1;

9² - 5*4²=1;

5² - 6*2²=1;

8² - 7*3²=1;

3² - 8*1²=1;

19² - 10*6²=1.

Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10.

Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D.

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1