Механизм кодиpовки для фоpмата MIME64 (Multitask Internet Mail Extensions) следующий:
1) исходный 8-битовый текст pассматpивается как последовательность битов; она pазбивается, слева напpаво, на 6-битовые отpезки (если последний отpезок "неполный", то он дополняется битовыми нулями);
2) каждая 6-битовая комбинация тpактуется как число из диапазона 0..63;
3) число заменяется символом с соответствующим поpядковым номеpом из стpоки-шаблона, состоящей из 26 заглавных букв латинского алфавита (A..Z), 26 стpочных букв того же алфавита (a..z), цифp (0..9) и символов "+" и "/", то есть из стpоки:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnopqrstuvwxyz 0123456789+/

В результате кодировки получилась фраза: UHJvamVjdC8vRGlvZmFudCtpbnR1aXQrb3NwLy9ydQ0K.

Введите текст, который был закодирован.

Точки P(x₁, y₁) и Q(x₂, y₂) с целочисленными координатами вместе с точкой начала координат O(0, 0) образуют треугольник OPQ.

Для 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2 всего 12 треугольников с углом 45 градусов. Вот координаты соответствующих им точек P и Q:

(0, 1) (1, 0)
(0, 1) (1, 1)
(0, 1) (2, 2)
(0, 2) (1, 1)
(0, 2) (2, 0)
(0, 2) (2, 2)
(1, 0) (1, 1)
(1, 0) (2, 2)
(1, 1) (2, 0)
(1, 2) (2, 2)
(2, 0) (2, 2)
(2, 1) (2, 2)

Треугольники где изменен только порядок точек P и Q, считаются одинаковыми.

Сколько различных треугольников с углом 45 градусов, если координаты точек находятся в пределах: 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 100?

Клетки шахматной доски размером 8x8 обозначены стандартным способом по горизонтали буквами "a-h" и по вертикали цифрами "1-8". У вас имеются по 8 комплектов каждой буквы и каждой цифры и вы размещаете на каждой клетке одну букву и одну цифру, таким образом, чтобы полученный номер не совпадал со стандартным (должна отличаться или буква или цифра). Найдите количество таких размещений и введите в ответ сумму цифр полученного числа. 

Если мы знаем только k членов последовательности, мы не можем однозначно описать следующий ее член с помощью многочленов.
Для примера давайте рассмотрим последовательность кубов натуральных чисел. Она порождается функцией u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Допустим, нам известны только два первых члена последовательности. Руководствуясь принципом "чем проще, тем лучше", мы можем воспользоваться линейной функцией и предсказать, что следующее за 1 и 8 значение будет равно 15. Если мы знаем три члена последовательности, то, пользуясь все тем же принципом простоты, мы можем описать ее квадратичным многочленом.
Обозначим через OP(k, n) n-ый член последовательности, порожденной оптимальным полиномиальным приближением, основанном на знании первых k членов последовательности. Ясно, что значения многочлена OP(k, n) точно совпадут с первыми k членами последовательности, а первым несовпадающим членом (ПНЧ), если есть такой, будет OP(k, k+1); если у многочлена имеется OP(k, n), который при некотором n несовпадает с соответствующим членом последовательности, мы будем называть недостаточным.
Выпишем первые OP для кубической последовательности:
k=1 OP(1, n) = 1 : 1, 1, 1, 1, ...
k=2 OP(2, n) = 7n-6 : 1, 8, 15, ...
k=3 OP(3, n) = 6n²-11n+6 : 1, 8, 27, 58, ...
k=4 OP(4, n) = n³ : 1, 8, 27, 64, 125, ...
Ясно, что для кубической последовательности есть только три недостаточных многочлена.  Их ПНЧ показаны в таблице синим цветом. Вычислив сумму ПНЧ для всех нехороших многочленов, получим  1 + 15 + 58 = 74.
Рассмотрим последовательность, заданную следующим многочленом десятой степени:
u_n  = -n + 2n² - 3n³ + 4n⁴ - 5n⁵ + 6n⁶ - 7n⁷ + 8n⁸ - 9n⁹ + 10n¹⁰
Найдите сумму ПНЧ всех недостаточных многочленов для данной последовательности.

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

На рисунке изображена прямоугольная полоска из восьми выстроенных в ряд клеток. Идущие подряд клетки одного цвета образуют блоки. При этом красные блоки содержат не менее трех клеток, а черные – не менее двух. Как видно из рисунка, полоску из восьми клеток можно раскрасить таким образом четырнадцатью способами.

Сколькими способами можно раскрасить полоску из 50 клеток, следуя тем же правилам?

В полоске, состоящей из пяти черных квадратов, будем заменять несколько идущих подряд клеток на прямоугольники разных цветов. При этом прямоугольники 2 × 1 будут красного цвета, 3 × 1 - зеленого, 4 × 1 - синего, а прямоугольник длиной 5 клеток окрасим в желтый цвет.

Используя красные прямоугольники, это можно сделать ровно семью способами:

Для зеленых прямоугольников есть три варианта:

Синие прямоугольники можно поставить только двумя способами:

А для желтых прямоугольников возможен один единственный вариант:

Итак, используя цветные прямоугольники какого-либо одного из имеющихся цветов, можно заменить часть черных квадратов в полоске длиной 5 единиц 7 + 3 + 2 + 1 = 13 способами.

Сколькими способами можно заменить цветными прямоугольниками часть черных квадратов в полоске длиной 50 единиц, если можно использовать цветные полоски только одного из имеющихся четырех цветов, и использован хотя бы один цветной прямоугольник? ("Смешивать" цвета нельзя, т.е. как и в примере, каждая полоска может содержать лишь один цвет, не считая черного).

Используя девять цифр от 0 до 8, объединяя их в группы и переставляя, можно образовать различные числовые множества. В частности, множество {2,61,487,503} состоит исключительно из простых чисел.

Сколько различных множеств можно сформировать, используя ровно один раз каждую цифру от 0 до 8, так, чтобы все элементы множества были простыми?
Замечание: натуральные числа не могут начинаться с нуля.

На плоскости нарисована пятиконечная звезда  с центром в начале координат и одной вершиной в точке с координатами (100,0). Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри звезды?

На шахматную доску ставится один ферзь и кони. Какое максимальное количество коней можно поставить на доску, чтобы ни одна фигура не оказалась под боем?