Округлим квадратный корень из натурального числа n до ближайшего целого и будем называть полученный результат округленным квадратным корнем.
Теперь рассмотрим следующий алгоритм вычисления округленного квадратного корня, фактически являющийся модификацией формулы Герона для целочисленной арифметики:
Пусть d — количество знаков числа n,
x₀ = 2?10^(d-1)⁄2 для нечетных d, и
x₀ = 7?10^(d-2)⁄2 для четных d.
Будем вычислять последовательность x_k
x_k+1=[(x_k+{n/x_k})/2]
до тех пор, пока последовательные значения не совпадут: x_k+1 = x_k. Скобки [] - означают округление вниз, а {} - округление вверх.
Для примера вычислим округленный квадратный корень из 4321. Это четырехзначное число, поэтому x₀ = 7 ? 10^(4-2)⁄2 = 70.
x₁=[(70+{4321/70})/2]=66
x₂=[(66+{4321/66})/2]=66
Поскольку  x₂ = x₁,  двух итераций  оказалось достаточно, и мы нашли округленный квадратный корень, равный 66 (это правильный результат, поскольку квадратный корень из 4321 примерно равен 65,7343137…)
Описанный метод оказался удивительно эффективным. Например, для вычисления округленных квадратных корней из пятизначных чисел требуется не более 5 итераций. Существует всего 82 пятизначных числа (например, число 10097), для которых алгоритм требует пяти шагов.
Найдите максимальное число итераций, которое может потребоваться для вычисления округленного квадратного корня из 14-значного числа. В качестве ответа укажите количество 14-значных чисел, для вычисления округленного квадратного корня из которых требуется найденное максимальное число шагов. 

Представьте, что у вас появилась возможность вложить свой трудовой рубль и стать рублевым миллиардером.
Правила такие:
У вас есть один трудовой рубль. Каждый день вы инвестируете некоторую долю своего капитала  f , которую вы должны зафиксировать  раз и навсегда. Известно, что на следующий день ваши инвестиции удваиваются с вероятностью 1/2, но с такою же вероятностью вы их теряете.
Например, если вы выбрали f=1/4, то в первый день вы инвестируете 0,25 руб. Допустим, вам сопутствовала удача. Тогда к вечеру у вас будет 1,5 руб., и назавтра вы инвестируете 0,375 руб. Если фортуна на этот раз от вас отвернется, через два дня у вас останется 1,125 руб., а если повезет — 1,875 руб. Таким образом, при f=1/4 через два дня ваш капитал превысит 1,5 руб. с вероятностью 25%.
Вы решили стать миллиардером с вероятностью не менее 99% за минимальное количество дней. Сколько именно дней вам нужно запланировать на это, если вы выберете оптимальное значение f?

Даны n натуральных чисел  1 < a₁  < a₂ < ... < a_n. Будем рассматривать их линейные комбинации вида  q₁a₁ + q₂a₂ + ... + q_na_n = b, используя при этом только целые неотрицательные коэффициенты q_k ≥ 0. Заметим, что таким образом можно получить далеко не всякое значение b. Например, при n=2, a₁ = 5 и a₂  = 7 правая часть b может принимать любые натуральные значения кроме двенадцати: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 и 23. Обозначим количество таких недостижимых чисел через h(a₁, a₂, ..., a_n). Таким образом, h(5,7)=12.
Также можно проверить, что h(6, 10, 15)=15, и h(14, 22, 77) = 98.
Найдите сумму всех h(p*q,p*r,q*r), где p, q и r ? простые числа, и p < q < r < 5000.

Трудолюбивый муравей случайно блуждает по клетчатой доске 5х5, расположенной вертикально. Он начинает свое движение в центре доски, а его траектория состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры соседних клеток. Направление каждого следующего отрезка он выбирает случайным образом и с равной вероятностью из 2, 3 или 4 возможных вариантов, в зависимости от своего положения.

В начальный момент в каждой из пяти клеток нижнего ряда расположено по одному зерну. Если муравей свободен от ноши, и он оказывается в клетке нижнего ряда, содержащей зернышко, то он его забирает. Если муравей с зерном оказывается в свободной клетке верхнего ряда, то он оставляет зерно в этой клетке.

Работа муравья считается завершенной, когда все зерна перенесены из нижнего ряда в верхний (понятно, что в каждой клетке верхнего ряда окажется по одному зерну).

Какова средняя ожидаемая продолжительность работы муравья, если его путь на одну клетку вниз занимает 1 секунду, на одну клетку вверх – 3 секунды, а на одну клетку вправо или влево по горизонтали – 2 секунды?

Ответ дайте в микросекундах, округлив вниз до целого.

Мы хотим приготовить пиццу круглой формы, состоящую из m?n ломтей-секторов одного размера, но с разной начинкой. У нас есть m≥2 сортов начинки, и каждый сорт мы должны использовать ровно для n ломтей.

Обозначим через f(m,n) количество способов приготовления пиццы, в которой будет ровно n ломтей, заправленных начинкой каждого из m сортов. Поскольку пиццу можно крутить как угодно вокруг вертикальной оси, но нельзя переворачивать начинкой вниз, зеркально симметричные варианты считаются различными, а варианты, отличающиеся только поворотом, предполагаются одинаковыми.

Например, f(2,1)=1,  f(2,2)=f(3,1)=2 и  f(3,2)=16.

Случай f(3,2) показан на рисунке:

Найдите сумму всех f(k,k), не превышающих 10¹⁵.

Функция Аккермана  рекурсивно задается для неотрицательных целых чисел  и  следующим образом:

Например, ,  и .

Чему равен остаток от деления  на 14⁸, где ?

Для каждого натурального числа n определим f(n) как наименьшее натуральное число, кратное n, десятичная запись которого состоит из нулей, двоек и троек.

Например, f(1)=2, f(3)=3, f(4)=f(5)=f(10)=20, f(7)=203, f(9)=333, f(89)= 20203.

Можно подсчитать, что 

f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(100)/100 = 19443

Найдите f(1)/1 + f(2)/2 + f(3)/3+ ... + f(10000)/10000

Как известно, последовательность Фибоначчи определяется рекуррентно:

f(0)=0 , f(1)=1, и f(n)=f(n-1)+f(n-2) при n>1.

Найдите Σf(p_i), где p_i – простые числа, и 10¹⁴< p_i <10¹⁴+5*10⁶.

Остаток от деления полученной суммы на 1234567891011 будет ответом к этой задаче.

Как и в стандартной игре Ним, в игре Простой Ним участвуют два игрока, которые по очереди берут камни из трех куч. Каждым ходом игрок может взять из одной кучи некоторое количество камней, если это количество выражается простым числом.

Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Позиция в Простом Ниме характеризуется тройкой неотрицательных целых чисел (a,b,c).

Как обычно, выигрышной позицией считается такая позиция, что при правильной стратегии очередной игрок может обеспечить себе победу. Остальные позиции называются проигрышными.

Можно подсчитать, что при 0≤a≤b≤c≤29 существует 651 проигрышная позиция.

Найдите, сколько существует проигрышных позиций при 0≤a≤b≤c≤20000.

Рассмотрим вещественное число √2+√3 и рассчитаем его четные степени:

(√2+√3)² = 9.898979485566356...

(√2+√3)⁴ = 97.98979485566356...

(√2+√3)⁶ = 969.998969071069263...

(√2+√3)⁸ = 9601.99989585502907...

(√2+√3)¹⁰ = 95049.999989479221...

(√2+√3)¹² = 940897.9999989371855...

(√2+√3)¹⁴ = 9313929.99999989263...

(√2+√3)¹⁶ = 92198401.99999998915...

Интересно, что количество девяток в дробной части полученных значений не убывает, и можно доказать, что сама дробная часть при больших n стремится к 1.

В этой задаче мы рассматриваем только вещественные числа, которые можно представить в виде √p+√q , где p и q – натуральные числа, p<q, а дробная часть выражения (√p+√q)²ⁿ стремится к 1 при больших n.

Пусть C(p,q,n) — количество девяток после запятой в числе (√p+√q)²ⁿ, а N(p,q) — минимальное значение n, при котором C(p,q,n)≥2013.

Найдите количество чисел вида √p+√q, где 1≤p<q≤2013, для которых N(p,q)>2013.